|
Меню сайта
Статистика
|
Уравнение гармонических колебанийУравнение гармонических колебанийВо многих случаях тела совершают колебания около положения равновесия под действием силы, величина которой пропорциональна отклонению тела от положения равновесия и которая стремится возвратить это тело в положение равновесия. Например, это имеет место для груза, подвешенного на пружине. Иначе говоря, сила, действующая на тело, выражается формулой: F=-ks, где s — отклонение тела от положения равновесия, а k — жесткость пружины. Поэтому (в силу второго закона Ньютона) дифференциальное уравнение движения тела имеет такой вид: ms" =-ks. Обозначив положительное число
мы сможем записать это уравнение в виде:
s''=-ω2s. Это уравнение называется уравнением гармонических колебаний, так как функция
при любых С1 и C2 является решением этого уравнения. В самом деле, по формулам (13) и (14) скорость тела, движущегося по закону (20), равна:
Продифференцировав еще раз, найдем ускорение:
 Но выражение, стоящее в скобках, равно s. Таким образом, взятая функция s действительно удовлетворяет уравнению s"=-ω2s. Можно доказать, что всякое решение этого уравнения имеет такой вид. Итак, сила, пропорциональная отклонению тела от положения равновесия и стремящаяся вернуть его в это положение, вызывает гармонические колебания частоты ω, где
(m — масса тела, k — коэффициент пропорциональности).
Для колебаний электрической цепи можно также записать аналогичный закон, только надо заменить массу тела самоиндукцией катушки, путь, пройденный телом,— напряжением на конденсаторе, а скорость тела — током и т. д. Поскольку законы, управляющие этими явлениями, совершенно аналогичны, то и колебания, возникающие в обоих случаях, записываются одними и теми же формулами. А затухающие колебания возникают, если, кроме силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия, действует еще сопротивление среды, пропорциональное скорости движения тела (или сопротивление электрической цепи).
|
ПОИСК
Block title
|
