Интегрирование многочленов

Теперь уже нетрудно научиться вычислять интеграл от любого многочлена. Сделаем предварительно два простых, но очень важных замечания.

Первое замечание. Пусть два тела М₁ и М₂ движутся в одном и том же направлении, причем так, что скорость тела М₂ в каждый момент времени в k раз больше скорости тела М₁. Тогда ясно, что и путь, пройденный телом M₂, будет в k раз больше пути, пройденного за то же время телом M₁. Запишем этот очевидный факт формулой. Обозначим скорость тела M₁ в момент t через v(t), тогда скорость тела М₂ в тот же момент равна kv(t). Пути s₁ и s₂, пройденные телами М₁ и M₂ за промежуток времени от t=0 до t=T, равны следующим интегралам:

Но так как путь, пройденный вторым телом, в k раз больше пути, пройденного первым телом (т. е. s₂=ks₁), то

Иначе говоря, числовой (постоянный) множитель можно выносить из-под знака интеграла.

Второе замечание. Пусть тело М₁ движется в некотором направлении, а по его поверхности движется в том же направлении тело М₂. Например, баржа плывет по реке, а по ее па-

лубе идет человек. Обозначим скорость движения тела M₁ через v₁(t), а скорость перемещения тела М₂ по поверхности тела М₁ — через v₂(t). Тогда путь, пройденный телом М₁за время от t=0 до t=T, равен

а путь, пройденный телом M₂ по поверхности тела М₁, равен

Общий же путь, пройденный в пространстве телом M₂ (как за счет собственного движения, так и за счет движения тела М₁, которое его везет), равен

Но ясно, что скорость перемещения тела М₂в пространстве равна v₁(t)+v₂(t), так что путь, пройденный этим телом, имеет значение:

Приравнивая оба найденных значения пути, получим:

т. е. интеграл от суммы двух (или нескольких) функций равен сумме интегралов от слагаемых.

Переходим к интегрированию многочленов. Пусть, например, нужно вычислить интеграл

Так как подынтегральное выражение есть сумма х²+(-3x)+5, то можно наш интеграл разбить на три:

Во втором и третьем интегралах можно вынести за знак интеграла числовой множитель, после чего легко получим ответ:

Иначе говоря, интегрировать многочлены можно почленно. Вообще, если

некоторый многочлен n-й степени, то его интеграл находится по формуле:

ПОИСК

Block title

РАЗНОЕ

Детская Энциклопедия

Интегрирование многочленов

Интегрирование многочленов