|
Меню сайта
Статистика
|
Производные синуса и косинусаПроизводные синуса и косинусаПроизводные от тригонометрических функций проще всего вычислить, исходя из физических соображений. Рассмотрим точку А, движущуюся по окружности радиуса R со скоростью ωR. Будем считать, что при t=0 точка А находилась в положении А0 (рис. 31).
Через t сек. точка пройдет путь длиной ωRt и окажется в положении А. Дуга А0А имеет длину ωRt, т. е. содержит ωt радиан, значит, и угол АОА0 равен ωt радиан. Поэтому координаты точки А равны х=Rcosωt и y=Rsinωt (это легко выводится из треугольника АВО). Иными словами, проекция В точки А на ось Ох движется по закону x = Rcosωt, а проекция С этой же точки на ось Оу движется по закону у=Rsinωt. Найдем скорости этих колебаний. Для этого разложим скорость движения точки А на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Вектор скорости точки А (имеющий длину ωR) направлен по касательной к окружности, проведенной в точке А, и потому образует с осью Ох угол
а с осью Оу — угол ωt(рис. 32). Следовательно, его проекция на ось
Ох (т. е. скорость движения точки В) равна:
а его проекция на ось Оу (т. е. скорость движения точки С) равна:
 Мы доказали, что скорость колебания, происходящего по закону х=Rcosωt, равна: vx=-ωRsinωt. Так как скорость является производной от пути по времени, это означает, что  Точно так же доказывается (из рассмотрения движения точки С), что
|
ПОИСК
Block title
|
