Чудесная формула

Чудесная формула

Тот же прием, который мы применили для приближенного вычисления площади кругового сегмента, можно, конечно, применить и для случая произвольной криволинейной тра­пеции, ограниченной сверху кривой CD с урав­нением y=f(x) (рис. 17).

Обозначим через М середину отрезка АВ и восставим в точках А, М и В ординаты AD, MN, ВС кривой CD. Дли­ны этих ординат обозначим через у₀, у₁, у₂. Проведем через точки С, N и D дугу параболы, имеющей вертикальную ось (такую дугу можно провести всегда, и притом только одну; иног­да она превращается в отрезок прямой).

Довольно простые подсчеты, использующие формулы (5), (6), (7), показывают, что площадь, лежащая под этой дугой параболы, равна

  где b и а — абсциссы точек В и А. Без боль­шой ошибки можно принять, что этому же рав­на и площадь криволинейной трапеции ABCD, т. е. что:



Поскольку площадь криволинейной трапеции выражается интегралом

то найденная формула дает приближенное зна­чение этого интеграла. Иными словами,



где у₀, у₁, y₂ — значения функции f(x) в точ­ках с абсциссами а,


и b. Объем любого тела можно приближенно считать по такой же формуле: