|
Меню сайта
Статистика
|
Применение интеграловПрименение интеграловМы научились вычислять интегралы от многочленов. Этого уже достаточно, чтобы иметь возможность решать многие математические и физические задачи. Покажем для начала, как просто получаются с помощью интегралов некоторые формулы, изучаемые в школе. Выведем формулу пути равноускоренного движения. Если начальная скорость тела в момент t=0 равна v0, а ускорение движения равно а, то в момент времени t скорость тела составит v(t)=v0+at. Поэтому по формуле (3) путь, пройденный телом с начала движения до момента Т, выражается формулой:
Выведем теперь некоторые геометрические формулы. Сначала найдем, чему равен объем шара радиуса R. Конечно, нам достаточно найти объем полушара, а потом его удвоить. Рассечем полушар плоскостью, параллельной его основанию и отстоящей на х от основания (рис. 14). В сечении получится круг радиуса
 (это получается, если применить теорему Пифагора к треугольнику ОАВ). Поэтому площадь получившегося сечения равна:  Но тогда объем полушара (высота его равна R) выражается формулой:  Следовательно, объем всего шара равен: 4/3pR3
вид y=аx2. В точке с абсциссой
ордината AD должна равняться длине стрелки h. Поэтому
Но это значит, что
Мы легко можем теперь найти площадь криволинейного треугольника ОАD.
 По формуле (2) она равна:
Площадь же прямоугольника ABED равна bh. Но площадь параболического сегмента получается, если из площади прямоугольника вычесть удвоенную площадь треугольника OAD, т. е. она равна
Круговой сегмент, имеющий небольшой центральный угол, можно приближенно заменить параболическим сегментом с той же хордой и той же стрелкой (рис. 16). Поэтому для площади кругового сегмента имеет место приближенная формула:
|
ПОИСК
Block title
|
Но с помощью интегрального исчисления можно найти и такие площади и объемы, которые не изучаются в школе. Найдем, например, площадь параболического сегмента АОВА, у которого хорда АВ равна b, а стрелка ОС равна h (рис. 15). Уравнение параболы имеет 
Итак, наш параболический сегмент ограничен снизу параболой, у которой в точке с абсциссой х ордината
Например, если центральный угол равен 60°, то приближенная формула дает результат 