Интеграл

Мы разобрали ряд задач из различных областей физики, техники, геометрии. Несмотря на внешнее различие этих задач, у них было много общего. Каждый раз для приближенного вычисления некоторой величины (объема, площади, пути и т. д.) мы получали сумму вида:

Здесь f(x) — некоторая функция, заданная на отрезке от а до b, а х₀=а, х₁..., х_п-1, х_п=b— точки на этом отрезке. Например, при вычислении пути функция f(x) была скоростью в момент времени х (только время мы раньше обозначали буквой t, а не х, что, конечно, несущественно), а было равно нулю, а b равнялось времени Т движения автомобиля.

Суммы такого вида встречаются в математике и ее приложениях очень часто. Их называют интегральными суммами. Такие суммы дают значение искомой величины только приближенно. Но если мы будем брать точки х₀, х₁,..., х_n все гуще и гуще на отрезке от а до b, то интегральные суммы будут приближаться к некоторому числу, а именно к точному значению искомой величины. Это число называется интегралом от функции f(x) на от-

резке от а до b и обозначается через

Таким образом,

где предел lim берется при условии, что число промежутков неограниченно увеличивается, а их длины стремятся к нулю.

В самом обозначении

сохраняются воспоминания об интегральной сумме, из которой получается интеграл. В Италии букву 5 часто пишут в виде ?. Поэтому сам знак интеграла есть просто первая буква латинского слова Summa (сумма). Вслед за знаком [ указывается, что суммировались выражения f(x_k)(x_k-x_k_-1). Только вместо разности x_k-x_k_-1 пишут dx, где d — первая буква латинского слова differentia (разность). Понятие интеграла является одним из основных в математике. Пользуясь этим понятием, можно записать многие полученные ранее формулы гораздо короче и не приближенно, а точно. Например, формула объема любого тела принимает вид:

где Н — высота этого тела, a S(h) — площадь сечения, проведенного параллельно основанию тела на высоте h от основания (см. рис. 7).

Формулу площади фигуры, изображенной на рис. 10, можно записать в виде:

где f(x) — высота кривой CD в точке с абсциссой х.

Путь, пройденный за промежуток времени от 0 до Т, выражается через скорость v(t) по формуле:

ПОИСК

Block title

РАЗНОЕ

Детская Энциклопедия

Интеграл

Интеграл