Показательная функция в природе и технике

Показательная функция в природе и технике

Существует огромное количество процессов в природе, которые описываются такими же дифференциальными уравнениями, как урав­нение (17) для радиоактивного распада. Общим для всех этих процессов является то, что ско­рость изменения рассматриваемой величины у прямо пропорциональна значению этой вели­чины в данный момент времени, т. е.

Коэффициент пропорциональности с положи­телен или отрицателен в зависимости от того, увеличиваются или уменьшаются с течением времени значения величины у. Дифференци­альное уравнение (19) имеет точно такой же вид, как и уравнение радиоактивного распада (только коэффициент пропорциональности здесь обозначается через с, а не через —k). Так как одинаковые уравнения имеют одинаковые решения, то для всех таких процессов значе­ния у₀ в любой момент времени t выражаются формулой:

где у₀ — значение величины у при t = 0. Теперь становится понятным, почему в при­роде и технике встречается так много величин, изменяющихся по показательному закону (ток самоиндукции, протекающий в катушке после выключения постоянного напряжения; изме­нение давления с высотой подъема и т. д.; см. статью «Функции в природе и технике»). Все эти величины удовлетворяют дифференциаль­ным уравнениям вида (19).