.
Меню сайта
|
Умеете ли вы проводить касательную ?Умеете ли вы проводить касательную ?Услышав такой вопрос, вы, вероятно, вспомните построение касательной к окружности и дадите утвердительный ответ. Но речь идет о касательной к любой кривой, а не только к окружности. А в школьных учебниках не только ничего не сказано о проведении касательной к любой кривой, но даже не определяется, что это такое. Нельзя, разумеется, определять касательную как прямую, имеющую с кривой лишь одну общую точку: ось параболы пересекается с ней только в одной точке (рис. 19), но вряд ли кому-нибудь придет в голову говорить, что эта ось касается параболы. Что же такое касательная к кривой и как ее провести? Постараемся ответить на эти вопросы. Проведем через точку М, лежащую на кривой, секущую MN (рис. 20). Если теперь точку N приближать по кривой к точке М, то секущая будет поворачиваться вокруг точки М, все более приближаясь к некоторой прямой. Эта прямая и есть касательная к кривой в точке М. Для окружности это определение касательной совпадает с обычным (рис. 21): по мере приближения точки N к точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Итак, касательная — это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается
точке М угол OMN приближается к прямому углу, и потому касательная к окружности перпендикулярна радиусу. Итак, касательная — это прямая, к которой приближается секущая MN, когда точка N приближается (по (по (по рассматриваемой кривой) к точке М. Теперь нетрудно будет описать положение касательной с помощью некоторой формулы. Для этого будем считать, что кривая АВ является графиком некоторой функции y=f(x). Обозначим ординаты точек M и N через y1 и y2, а их абсциссы — через х1 и х2. Рассматривая прямоугольный треугольник MNP с гипотенузой MN и катетами, параллельными осям координат (рис. 22), мы можем легко определить угол φ, под которым секущая наклонена к оси х:
Но из рис. 22
ясно, что PN = у2-у1, МР=х2-х1. Таким образом,
Предел берется при условии, что точка N приближается к М, т. е. что значение х2 приближается к х1.
|
ПОИСК
Block title
|