.
Меню сайта
|
Производная показательной функцииПроизводная показательной функцииТеперь продифференцируем показательную функцию у=ех. Мы уже знаем (см. ст. «Функции в природе и технике»), что касательная к кривой у=ех, проведенная в точке пересечения ее с осью ординат, наклонена к осям под углом в 45°. Вспоминая геометрический смысл производной ( см. ст. "производная"), мы можем сказать, что производная функции у=ех в точке х=0 равна tg45°, т. е. 1. Итак,
Чтобы сосчитать производную от функции у=ех в какой-либо точке х0, сдвинем график этой функции на отрезок х0. После сдвига в точке х ордината станет равной не ех, а ех-х0, т. е. сдвинутая кривая является графиком функции у=ех-х0 (рис. 33). При сдвиге графика касательная, проведенная к кривой у=ех в точке х=0, перейдет в касательную, проведенную к сдвинутой кривой (т.е. кривой у=ех-x0) в точке х=х0 (рис. 34). Таким образом, касательная к кривой у=ех-х0 в точке х0 наклонена к оси х под углом 45°, т. е.
Теперь легко найти производную функции у=ех в точке х=х0. В самом деле, так как постоянный множитель ех0 можно вынести за знак производной, получим:
Этим доказано, что производная от функции ех в точке х=х0 равна ех0. Так как х0 — произвольная точка, то мы можем просто написать: (ех)'=ех. Лишь немногим более сложные рассуждения показывают, что (еCх)'= СеСх. (15)
|
ПОИСК
Block title
|