.
Меню сайта
|
Радиоактивный распадРадиоактивный распадМногие физические законы связывают между собой некоторую величину и скорость ее изменения. Рассмотрим, например, радиоактивный распад. Скорость распада тем больше, чем больше взято радиоактивного вещества. Это и понятно: если, скажем, в каждом грамме взятого радиоактивного вещества за 1 сек. распадается 0,0001 г, то в двух граммах этого вещества за 1 сек. распадается 0,0002 г, в семи граммах распадается за 1 сек. 0,0007 г и т. д. Иначе говоря, скорость распада (мы ее обозначали выше буквой и; см. формулу (10) прямо пропорциональна массе т имеющегося радиоактивного вещества:
На первый взгляд кажется, что из уравнения (16) ничего нельзя определить: ведь это одно уравнение с двумя неизвестными u и m (коэффициент пропорциональности k для каждого вида радиоактивного вещества определяется из опыта), а для нахождения двух неизвестных надо иметь два уравнения. Однако второе уравнение легко найти: ведь и — это скорость изменения массы т, а потому и u=m'. Поэтому мы можем переписать закон радиоактивного распада (т. е. формулу (16) в виде:
Мы получили одно уравнение для определения одного неизвестного т. Только это уравнение не такое, какие изучаются в школе: оно связывает величину т и ее скорость изменения (производную). Уравнения, связывающие величины и их производные, называются дифференциальными уравнениями. Легко проверить, что функция т = Се-kt, где С — любое число, является решением дифференциального уравнения (17) (т. е. если подставить в это уравнение вместо т эту функцию, то оно обратится в тождество). В самом деле:
Можно показать, что других функций (кроме m(t)=Ce-kt), удовлетворяющих уравнение (17), не существует, т. е. что всякое решение уравнения (17) имеет вид: m(t)=Ce-kt. Это и есть закон уменьшения массы радиоактивного вещества с течением времени. У нас остался невыясненным один вопрос: чему равна постоянная C? На этот вопрос нетрудно ответить. Из формулы т(t)=Се-kt находим (полагая t=0), что масса радиоактивного вещества в начальный момент времени t=0 была равна Се0 = С. Таким образом, С — это масса радиоактивного вещества в начальный момент времени; ее принято обозначать через m0. Поэтому, заменяя С на m0, получаем окончательный вид закона радиоактивного распада:
Найдем теперь, через сколько лет количество радиоактивного вещества уменьшится вдвое. Для этого нужно определить число
Т0 из уравнения
После логарифмирования (по основанию е) находим, что
(через lnx мы обозначаем
логарифм числа х по основанию е). Этот промежуток времени Т0 называют периодом полураспада данного радиоактивного вещества. Он не зависит от того, сколько было взято радиоактивного вещества, а зависит только от k, т. е. от того, какое взято вещество. Например, период полураспада радия равен 1590 годам, урана-238 — 4,5 млрд. лет, тория С всего 0,0000003 сек. С помощью числа Т0 закон радиоактивного распада можно записать так:
В этой форме его обычно и используют в физике.
|
ПОИСК
Block title
|