|
Меню сайта
Статистика
|
Уравнения степеней выше второйУравнения степеней выше второйК уравнениям третьей степени пришли греческие математики (Гиппократ, Архимед и др.) при решении геометрических задач: удвоение куба — нахождение ребра куба, имеющего двойной объем данного куба; трисекция угла — деление произвольного угла на три равные части и др. Геометрическое решение этих задач столкнулось с невозможностью построить циркулем и линейкой отрезок, выражаемый кубическим корнем. Эти задачи решались геометрически при помощи кривых — гиперболы, параболы и др. Все возможные случаи решения кубического уравнения геометрическими методами рассмотрел среднеазиатский математик и знаменитый поэт Омар Хайям на рубеже XI и XII вв. Алгебраическое решение кубического уравнения, т. е. открытие формулы, которая позволяет выразить корни всякого уравнения третьей степени через его коэффициенты, нашли в XVI в. итальянские математики С. Ферро, Н. Тарталья и Дж. Кардано. Алгебраическое решение уравнений четвертой степени в общем случае нашел Л. Феррари, ученик Кардано. Свой особый способ для этого дал Л. Эйлер в 1732 г. Очень многие крупнейшие математики предпринимали попытки решить алгебраические уравнения пятой степени в общем случае, т. е. пытались найти формулу, при помощи которой можно было бы вычислить корни любого уравнения пятой степени по его коэффициентам. Эти усилия не дали результата. Многие математики (Г. Лейбниц, Л. Эйлер, К. Гаусс) высказывали мысль, что для уравнений пятой и более высоких степеней в общем случае не существует алгебраической формулы для выражения корней через коэффициенты. Доказал это положение в 1824 г. норвежский математик Н. Абель. Однако многие частные виды таких уравнений могут быть решены алгебраически. Французский математик Э. Галуа указал в 1830—1832 гг. метод, при помощи которого по виду уравнения можно установить, решается оно алгебраически или нет. Голландский математик А. Жирар (1629) высказал предположение, что уравнение n-й степени имеет n корней, если считать корнями отрицательные и мнимые выражения (сам Жирар не считал их корнями уравнения). Смелее эту мысль выразил в середине XVII в. Р. Декарт, со всей же определенностью — И. Ньютон в конце XVII в. Л. Эйлер в 1742 г. заявил, что всякое алгебраическое выражение может быть разложено на множители с действительными коэффициентами первой или второй степени. Эта мысль в иных словах означает, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, который может быть числом действительным или мнимым, одним словом — комплексным. Строго это доказал двадцатидвухлетний К. Гаусс в 1799 г. Для вычисления приближенных значений корней уравнений высших степеней существует много приемов, которые часто применяются на практике и к уравнениям третьей и четвертой степеней, так как абсолютная точность корня на практике не всегда нужна, а применение формул сложно. Самаркандский математик ал-Каши (XV в.) дал удобную приближенную формулу для нахождения корней уравнений третьей степени, а И. Ньютон и другие — для уравнений любой степени. Очень важный метод для этого дал Н. И. Лобачевский.
|
ПОИСК
Block title
|
Эта формула носит имя Кардано, хотя он не являлся основным действующим лицом в данном открытии и сам признавал это. Существенно важным при решении кубического уравнения в общем случае явилось выражение корней в тригонометрической форме.
