Неразрешимые задачи на построение

Неразрешимые задачи на построение

Сталкиваясь впервые с задачами на построе­ние, которые не могут быть решены цирку­лем и линейкой, всякий испытывает сначала неудовлетворенность, — как это нельзя решить? Между тем в этом нет ничего странного, просто циркуль и линейка — недостаточно сильные (мо­жет быть, лучше сказать — недостаточно тонкие) инструменты для решения некоторых задач. Таковы, например, задачи о делении произ­вольного угла на три равные части (трисекция угла) и об удвоении куба («Построить ребро куба двойного объема по сравнению с данным кубом»). Некоторые из таких задач становятся разрешимыми, если к линейке и циркулю при­соединить, например, прибор, вычерчивающий параболу, или эллипсограф.

Чтобы разобраться, какие же задачи разрешимы с помощью циркуля и линейки, будем рассуждать так. Линейка дает воз­можность строить прямую, проходящую через две уже построенные точки, находить точки пересечения прямых. Присоединяя к линейке циркуль, мы можем строить окружности любых данных радиусов с заданным центром, нахо­дить точки пересечения двух окружностей и окружности с прямой. Подойдем к вопросу аналитически. Прежде всего заметим, что одна линейка дает возможность решать лишь задачи первой степени: например, пересечение двух прямых соответствует в декартовых коор­динатах решению системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Присое­динив циркуль, мы, оказывается, можем уже решать все задачи второй степени, т. е. такие, которые аналитически сводятся к решению ряда квадратных уравнений с одним неизвест­ным. Ведь пересечение прямой с окружностью означает совместное решение уравнения окруж­ности и уравнения прямой; после исключения одной координаты получается квадратное урав­нение с одной неизвестной координатой. Пере­сечение двух окружностей можно заменить пересечением одной из них с хордой, проходя­щей через обе точки пересечения. Аналитически это вполне ясно. Напишем уравнения этих окружностей:

Вычтя одно из другого, получим уравнение первой степени (это и есть уравнение упомяну­той хорды). Значит, опять получается пересе­чение прямой с одной из окружностей, что (как уже было сказано) сводится к квадратному уравнению с одним неизвестным. Таким обра­зом, циркуль и линейка способны решать лишь задачи, которые сводятся к последовательному решению ряда квадратных уравнений с одним неизвестным. Поэтому всякое уравнение, кото­рое нельзя свести к решению ряда квадратных уравнений (например, х³=2), не может быть решено графически циркулем и линейкой. Как раз задача об удвоении куба и есть задача о ре­шении уравнения x³=2: приняв за 1 ребро дан­ного куба, для ребра х искомого получаем имен­но это уравнение. Задача о трисекции угла (кроме некоторых частных случаев, например угол в 90°) тоже оказывается задачей третьей степени, отсюда — невозможность решения ее при помощи циркуля и линейки.

Если же воспользоваться прибором для чер­чения парабол, то, вычертив две параболы х²=у и 2х=у², в пересечении получим точку, абсцисса которой как раз удовлетворяет урав­нению х³=2.

• УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
• Как люди учились решать уравнения
• Метод двух ложных положений
• Введение понятия неизвестного числа
• Квадратные уравнения                                 Совершенные числа
• Уравнения степеней выше второй            Сомножители, производящие кучу нулей
• Что такое координаты и для чего они служат  Пять зашифрованных действий 
• Декартовы координаты точки
• Простейшие задачи
• Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек 
• Прямая 
• Основные задачи на прямую 
• Окружность
• Аналитическое решение геометрических задач
• Неразрешимые задачи на построение
• Полярные координаты 
• Координаты на сфере 
• Криволинейные координаты. Общая идея координат