Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек

Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек 

Для задания фигуры Ф в этом случае ста­раются подыскать такое условие, которому: 1) удовлетворяют координаты х, у всех точек из Ф; 2) не удовлетворяет ни одна чужая точка (т.е. не принадлежащая Ф). То, что здесь сказа­но, станет понятнее на следующих примерах:

1. Подыщем условие для фигуры, состоящей из всех точек оси Ох. Координаты всех ее точек удовлетворяют уравнению y=0, и, конечно, ни одна чужая точка ему не удовлетворяет, так как она лежит либо выше оси Ох (тогда у >0), либо ниже (тогда y<0). Уравнение y=0 и слу­жит искомым условием.

2. Все точки биссектрисы координатного угла хОу удовлетворяют уравнению х=у, и ни одна чужая точка. (Биссектриса считается про­долженной бесконечно в обе стороны.)

3. Все точки внутренней части координат­ного угла хОу удовлетворяют системе нера­венств x>0, y>0. Эта система служит условием, задающим фигуру Ф — внутренность уг­ла хОу.

4. Все точки М (х; у) окружности радиуса 5 с центром в начале координат удовлетворяют уравнению x² + y²=25, так как для любой ее точки расстояние от начала равно 5: ОМ = 5, или, на основании теоремы Пифагора,

что равносильно написанному выше уравне­нию. Для всех лежащих внутри окружности точек OM<5, т. е. х²+y²<25; для всех лежа­щих вне окружности OM>5, или x²+y²>25. Итак, для всех точек нашей окружности, и только для них, справедливо уравнение

Такое уравнение, которому удовлетворяют все точки некоторой линии и не удовлетворяет ни одна посторонняя точка, называется урав­нением этой линии; х, у в уравнении линии называют текущими координатами.

Отметьте на чертеже точки с целочисленны­ми координатами, для которых левая часть x²+y²-25>0, знаком «+»; те, для которых она отрицательна, — знаком «-»; точки, где она равна нулю, заключите в совсем маленький кружочек. Можно ограничиться, например, лишь теми целочисленными точками, для кото­рых |x|+|y|≥8. Проделав это, вы отчетливо поймете, что на координатной плоскости соот­ветствует уравнению, что — неравенству (рис. 7).

например (0; 5) и (1; 4), и затем, построив их, соединить линейкой. Снова заметим: прямая делит плоскость на две части, для одной из них (верхней) x+y>5, для другой x+y<5.

6. Попробуйте выяснить геометрический смысл неравенства |x| + |y|<5. Для этого сна­чала следует построить линию |x|+|y|=5. (Мы говорим: «линия |x|+|y|=5»; это значит — ли­ния, определенная уравнением |x|+|y|=5.) Она состоит из четырех частей. Построение следует вести отдельно в каждой из коорди­натных четвертей: 1) при x≥0, y≥0, 2) при x<0, y≥0, 3) при x<0, y<0 и 4) при x≥0, y<0.

7. Уравнение х³+ху²-4x=0 определяет фигуру, составленную из окружности и вертикаль­ной прямой, проходящей через ее центр. Дей­ствительно, данное уравнение можно перепи­сать так: x(x²+y²-4)=0, но произведение мо­жет быть равно нулю тогда, и только тогда, когда хоть один из множителей равен нулю, т. е. х=0, или х²+у²-4=0; первое есть урав­нение оси Оу, второе — окружности (рис. 8).

8. у=х² служит уравнением параболы. По­строим ее по уравнению. Для этого напишем сначала таблицу, помещая в первой ее графе произвольные значения х, например x=-3, -2¹/₂ , -1, 0,1, 2, 3, 4, ..., а во второй — соответ­ствующие значения y=9, 6¹/₄,1, 0, 1, 4, 9, 16,.... Если бы мы были в состоянии составить табли­цу для всего бесконечного множества действи­тельных чисел х и соответствующих y, а затем построили бы все такие точки (x; y), то эти точки сами заполнили бы собой всю искомую кривую (рис. 9). Фактически же мы вычислили координаты лишь точек: (-3; 9), (-2¹/₂; 6¹/₄), (-1; 1), (0; 0); (1; 1), (2; 4), (3; 9), (4; 16). Соединив их от руки плавной кривой (этим мы заполняем пробелы, соответствующие промежуточным значениям x, не включенным в таб­лицу), получим кусок параболы между точка­ми (-3; 9) и (4; 16). Конечно, это приблизи­тельное построение; оно будет тем точнее, чем больше построим промежуточных точек.

Заметим, что неравенство y>x² определяет часть плоскости над параболой, а неравенство y<x² — часть плоскости под ней.

9. Уравнение ху=12 (рис. 10) определяет на плоскости хорошо известную вам кривую — гиперболу (вспомните геометрическое изобра­жение закона Бойля—Мариотта). Для ее построе­ния решим уравнение относительно у:

у=12/x

и далее строим по точкам, как это делалось в предыдущей задаче.

• УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
• Как люди учились решать уравнения
• Метод двух ложных положений
• Введение понятия неизвестного числа
• Квадратные уравнения                                 Совершенные числа
• Уравнения степеней выше второй            Сомножители, производящие кучу нулей
• Что такое координаты и для чего они служат  Пять зашифрованных действий 
• Декартовы координаты точки
• Простейшие задачи
• Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек 
• Прямая 
• Основные задачи на прямую 
• Окружность
• Аналитическое решение геометрических задач
• Неразрешимые задачи на построение
• Полярные координаты 
• Координаты на сфере 
• Криволинейные координаты. Общая идея координат