Основные задачи на прямую

Как мы видели, прямая однозначно определяется ее уравнением. Поэтому уравнение прямой может служить как бы ее «именем»; постоянно говорят: «прямая Ах+Ву+С=0»; это значит, что прямая задана уравнением Ах+Ву+С=0.

1) Построение прямой по ее уравнению. Чтобы построить прямую по ее уравнению, проще всего найти какие-нибудь две точки, удовлетворяющие этому уравнению; построив их, проводим через них прямую.

Пример. Построить прямую 2х-Зy+8=0. Этому уравнению удовлетворяют точки (-4; 0), (-1; 2), (5; 6),... . Строим какие-нибудь две из них (лучше не слишком близкие, иначе проведение через них прямой по линейке не будет достаточно точным), например (-4; 0) и (5; 6), и соединяем линейкой.

2) Даны две различные точки A₁(х₁; у₁) и А₂ (x₂; y₂). Найти прямую А₁A₂.(Это значит найти ее уравнение.)

Проверим, что искомое уравнение можно записать так:

(х-х₁)•(y₂-у₁)-(у-y₁)•(x₂-х₁)=0. (4)

Прежде всего это уравнение первой степени относительно текущих координат х, у, — значит, оно есть уравнение прямой. Подставив вместо текущих координат x и y сначала x₁и y₁, а затем x₂ и y₂, убеждаемся каждый раз, что уравнение обращается в тождество, — значит, эта прямая проходит и через точку (x₁;y₁), и через точку (x₂; y₂).

Обычно уравнение (4) записывают в более удобной для запоминания форме:

Однако последняя перестает служить, если х₁=х₂или у₁=у₂.

3) Даны две прямые: Ах+Ву+С=0 и А'х+B'y+C'=0. Найти точку их пересечения. Точка пересечения лежит на той и на другой прямой, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Итак, для нахождения их надо решить совместно эти уравнения (система двух уравнений с двумя неизвестными).

4) Как следует из сказанного ранее, угловой коэффициент k характеризует направление прямой, поэтому равенство угловых коэффициентов двух прямых означает их параллельность. Так как

то условие параллельности (k=k') прямых Ах+Ву+С=0 и A'x+B'y+C'=0может быть записано и так:

5) Условие перпендикулярности. Если прямые перпендикулярны, то углы α ипоэтому их угловые коэффициенты k и k' удовлетворяют равенству kk' =-1. Это легче всего усмотреть из рис. 13: на нем треугольник ОЕЕ' прямоугольный, k и -k' служат проекциями катетов на гипотенузу, поэтому их произведение равно квадрату высоты: k•(-k') =OE₁²=1.Иначе условие перпендикулярности

пишут в виде:

или, в силу равенств

в виде:

Задача 7. Через точку (2;-3) провести прямую, перпендикулярную прямой 4х-3y+2=0.

Решение. Для изменения направления на перпендикулярное достаточно (выполняя условие (6) обменять местами коэффициенты А, В и у одного из них изменить знак: А =4, В= — 3; теперь возьмем A'=+3, B'=4. Уравнение искомой прямой уже можно написать: Зх+4y+C'=0. Неизвестный пока член С' определится из требования, чтобы данная точка (2;-3) лежала на этой прямой: 3•2+4•(-3)+С'=0, или C'=6.

Ответ: 3x+4y+6=0.

6) Расстояние между точкой и прямой. Решим частный случай этой задачи: найти длину р перпендикуляра из начала О (0; 0) на прямую Aх+By+С=0. Решение удобно вести по такой схеме:

1. Найти уравнение перпендикуляра из О (0; 0) на Ах+Ву+С=0(см. задачу 7).

Ответ: Вх-Ау=0.

2. Проекция О' начала О на данную прямую получается совместным решением уравнений:

Ах+Ву+С=0и Вх-Ау=0.

Ответ:

3. Остается найти искомое расстояние р как расстояние между О и О':

Общий случай: «найти расстояние d от точки Р₀(х₀; у₀)до прямой Ах+Ву+С=0 — может быть решен тем же путем. В результате получим, что искомое расстояние

т. е. расстояние от точки (х₀;у₀) до прямой Ах+Ву+С=0, равно частному от деления абсолютной величины результата подстановки в левую часть уравнения прямой координат точки (х₀;у₀) на «нормирующий» корень

ПОИСК

Block title

РАЗНОЕ

Детская Энциклопедия

Основные задачи на прямую

Основные задачи на прямую