Аналитическое решение геометрических задач

Аналитическое решение геометрических задач

При решении геометрической задачи анали­тическим методом прежде всего выбирают си­стему координат (от удачного выбора ее зави­сит простота вычислений). Затем находят в этой системе координаты заданных точек и урав­нения заданных прямых, окружностей и т.д. Этим задача переводится на аналитический язык и превращается в задачу аналитической геометрии.

Пример 1. Доказать, что три высоты треугольника АBС всегда пересекаются в од­ной точке.

Примем одну из высот ОС за ось Оу, а соот­ветствующее основание А В — за ось Ох. Коор­динатное обозначение вершин: А (-р; 0), B(q; 0), С (0; h) (h — высота, р, q — проекции сторон СА и СВ на основание). По формуле (4) составляем уравнения боковых сторон:

(Сделайте проверку: (-р; 0) лежит на СА, (0; h) — тоже.) Составляем уравнения боко­вых высот: px+hy=pq, qx-hy=-pq (см. задачу 7). Точка пересечения

найденная совместным решением их уравнений, оче­видно, лежит на третьей высоте, так как ее абс­цисса равна нулю, и т. д.

Пример 2. Эллипс. Выяснить, ка­кую кривую опишет точка тонкой прямоли­нейной палочки, скользящей своими концами по неподвижным взаимно перпендикулярным прямым Ох и Оу.

Примем эти прямые за оси координат. Рас­стояния точки от концов палочки обозначим через а и b (постоянные числа, так как точка по палочке не двигается).

Обозначим через t (переменный) угол, обра­зованный палочкой с отрицательным направ­лением оси Ох. На рис. 14 видно, что

x=acost, y=bsint.

Эти два уравнения можно рассматривать как особый вид уравнений кривой. Здесь связь между х и у задана при помощи вспомогатель­ного переменного (параметра) t. Такие урав­нения кривой называются параметрическими.

По ним построение кривой делают так: дают произвольные значения параметру t, каждый раз вычисляя соответствующие значения x и y, что определяет точку кривой. Так, точка за точ­кой можно построить сколько угодно точек кривой. Если вы хотите получить обычное ее уравнение, следует исключить из параметри­ческих уравнений параметр t (не всегда это легко сделать!), т. е, составить их следствие, не содержащее t. В данном случае, деля эти уравнения: первое — на а, второе — на b, возводя в квадрат и складывая, получим:

Это простейшее уравнение эллипса. Эллипс — кривая, получаемая из круга равномерным рас­тяжением или сжатием в одном направлении (см. статью «Геометрические преобразования»). Как известно, по эллипсам движутся планеты вокруг Солнца (первый закон Кеплера), искус­ственные спутники вокруг Земли.

Эллипсограф. Из рассмотренной только что задачи вытекает конструкция при­бора для черчения эллипсов (эллиптический

циркуль, или эллипсограф). Для этого нужно лишь к подвижной палочке прикрепить ка­рандаш, который можно было бы закреплять винтом в различных положениях на палочке. Этот карандаш при описанном выше движении палочки вычертит эллипс, полуоси которого а, b зависят от того, в какой точке палочки закреплен карандаш. Из уравнения (10) сле­дует, что середина палочки описывает окруж­ность, ведь для середины а=b! На рис. 15 показан эллипсограф несколько иной конструк­ции.

• УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
• Как люди учились решать уравнения
• Метод двух ложных положений
• Введение понятия неизвестного числа
• Квадратные уравнения                                 Совершенные числа
• Уравнения степеней выше второй            Сомножители, производящие кучу нулей
• Что такое координаты и для чего они служат  Пять зашифрованных действий 
• Декартовы координаты точки
• Простейшие задачи
• Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек 
• Прямая 
• Основные задачи на прямую 
• Окружность
• Аналитическое решение геометрических задач
• Неразрешимые задачи на построение
• Полярные координаты 
• Координаты на сфере 
• Криволинейные координаты. Общая идея координат