Прямая

Прямая

Прямая — это простейшая из линий; урав­нение первой степени — простейшее из уравне­ний. И вот оказывается, что: 1) всякая прямая задается некоторым уравнением первой сте­пени и 2) все точки, удовлетворяющие заданно­му уравнению первой степени относительно х и у, заполняют некоторую прямую, т. е. такое уравнение и служит уравнением прямой.

Докажем, что:

1. Уравнение всякой прямой есть уравне­ние первой степени.

Прежде всего это ясно для прямой, парал­лельной оси Оу (в частности, и для самой оси Оу), так как у всех точек такой прямой абсцисса одна и та же, т. е. равна некоторому постоянному а; x=а — это и есть уравнение рассматриваемой прямой, но оно первой степени.

Рассмотрим теперь любую прямую и, не­параллельную Оу. Она пересекает Оу в некото­рой точке В (0; b) (абсцисса точки В равна нулю, а ордината имеет некоторое значение b). Пере­двинем прямую n параллельно себе так, чтобы она прошла через начало О (0; 0). Составим прежде всего уравнение этой вспомогательной прямой. На ней найдется точка Е с абсциссой, равной 1 (это точка ее пересечения с прямой х=1); пусть ордината этой точки равна числу k: E (1; k). Тогда для любой точки нашей пря­мой y:x = k:1. Действительно, треугольники ОМ₁М и ОЕ₁Е подобны, поэтому их катеты |y|, |x|, |k|, 1 пропорциональны |y|:|х|= |k|:1 (рис. 11). Остается проверить лишь знаки: чертеж показывает, что если k положительно, то для любой точки прямой ОЕ непременно х и у будут или оба положительны, или оба от­рицательны. Значит, равны и знаки отноше­ний у.х, k:1. Если k отрицательно, то знаки х и у противоположны (рис. 12) и равенство y:x=k:1, или y=kx, остается в силе. При k=0 точка Е лежит на оси х, прямая ОЕ совпадает с осью Ох, а уравнение у=kx превращается в y=0. Итак, при любом k уравнением вспомога­тельной прямой ОЕ служит равенство y=kx. Вернемся теперь к первоначальной прямой и; ее можно получить из вспомогательной прямой ОЕ сдвигом в направлении оси у на отрезок b. Это значит, что каждая ее точка перемещается в направлении оси Оу на b (если b>0— вверх, если b<0 — вниз).

Ордината каждой точки при этом изменится на одно и то же число b, а абсцисса останется прежней; вместо урав­нения y=kx вспомогательной прямой мы те­перь получим:

у = kx+b.

Это и будет уравнением прямой п. (Напомним, что ни одна чужая точка этому уравнению не удов­летворяет: для точек, лежащих выше нашей прямой, y>kx+b, для точек, лежащих ниже, y<kx+b; k называется угловым коэффициентом прямой, b — начальной ординатой.) Из треугольника ОЕЕ₁ легко выяснить геометриче­ский смысл углового коэффициента прямой: это тангенс угла, который наша прямая обра­зует с положительным направлением оси Ох. Если угол тупой, то k отрицательно. 2. Всякое уравнение первой степени

Ах + By + С = О   (3)

есть уравнение некоторой прямой. Действи­тельно, А и В сразу оба не могут быть равны нулю (так как тогда наше уравнение не было бы первой степени). Пусть, например,

тогда уравнение можно разрешить относительно у; оно примет вид:

 

 Если теперь построить прямую с угловым коэффициентом k,  равным -A/B, и начальной ординатой b, равной  -C/B, то, как мы уже видели, ее уравнение будет: у=kx+b, или

т. е. равносильно заданному. (Случай 

приведет к уравнению

т. е. х постоянно. Это уравнение прямой, параллельной оси Оу; при C=0 — сама ось Оу.)

• УРАВНЕНИЯ И ФУНКЦИИ
• Как люди учились решать уравнения
• Метод двух ложных положений
• Введение понятия неизвестного числа
• Квадратные уравнения                                 Совершенные числа
• Уравнения степеней выше второй            Сомножители, производящие кучу нулей
• Что такое координаты и для чего они служат  Пять зашифрованных действий 
• Декартовы координаты точки
• Простейшие задачи
• Задание фигуры, состоящей из бесчис­ленного множества точек 
• Прямая 
• Основные задачи на прямую 
• Окружность
• Аналитическое решение геометрических задач
• Неразрешимые задачи на построение
• Полярные координаты 
• Координаты на сфере 
• Криволинейные координаты. Общая идея координат