|
Меню сайта
Статистика
|
Полярные координатыПолярные координатыПри решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки М в этом случае определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом φ=∠РОМ (рис. 16). Числа r (полярный радиус) и φ (полярный угол) называются полярными координатами точки М. Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат вместе с декартовой. Рассмотрим такое расположение, когда полюсом служит начало декартовой системы, а полярной осью — ось абсцисс;
Эти формулы позволяют вычислить декартовы координаты, когда известны полярные. Пример. Выяснить форму кривой (x2+y2)2=а2(х2-у2) (она называется лемнискатой). Исследовать ее форму непосредственно по написанному уравнению не так легко. Перейдем к полярным координатам. Заменив х и у по формулам (11), получим:
тогда рисунок подсказывает связь между полярными и декартовыми координатами точки:
 По этому простому уравнению легко построить нашу кривую. Кривая строится по точкам (рис. 17). Даем φ различные значения, например φ=0, ±15°, ±30°, ±45°, ±135°.. Вычисляем соответствующие
При значениях φ между 45 и 135°, а также между 225 и 315° косинус отрицателен и поэтому r мнимо: у кривой нет точек с такими значениями полярного угла.
Точки, у которых полярный радиус имеет постоянное значение r=С, образуют окружность радиуса С, с центром в полюсе. При постоянном значении угла φ , φ =φ0, получается луч, выходящий из полюса и наклоненный под углом φ0 к полярной оси. Полученные таким образом (т. е. при постоянном значении одной координаты) линии называются координатными (рис. 18). В декартовой системе координатные линии— прямые, параллельные осям. Спираль Архимеда. Это кривая задается в полярных координатах уравнением r=Сφ , где С — постоянная (рис. 19).
При помощи этой кривой любой угол можно делить на произвольное число (например, на три — трисекция угла) равных частей. Вот как это делается (рис. 20). Пусть на листе бумаги начерчена спираль Архимеда, выходящая из полюса О полярной системы координат, полярная ось ОР служит для спирали касательной.
|
ПОИСК
Block title
|
Или, сократив на r2 (при этом могла бы потеряться лишь одна точка кривой r=0), получим: 
Перенесем на этот чертеж заданный нам для разделения на n равных частей угол так, чтобы его вершина совпадала с полюсом, одна сторона — с полярной осью ОР, а другая его сторона легла в сторону возрастания полярного угла 