Правила вывода

Правила вывода

В заключение скажем еще несколько слов о правилах, связанных с употреблением соот­ношения


Установление того, что два высказывания а и b связаны соотношением

 называется выводом; при этом высказывание b назы­вается условием, а высказывание а — след­ствием. С выводами такого рода мы все время встречаемся в науке и в практической жизни: так, например, заключение любой теоремы яв­ляется следствием ее условия. Правильность вывода обеспечивается соблюдением определен­ных правил логики. Эти правила логики могут быть обоснованы с помощью соотношений ал­гебры высказываний.
Известное уже нам соотношение: если

и


то


читается так: если из b сле­дует а и из с следует b, то из с следует а. Это соотношение используется в рассуждениях весьма часто. Например, поскольку теорема «сумма углов треугольника равна 180"» вы­текает из аксиомы параллельных линий, а тео­рема «внешний угол треугольника равен сум­ме внутренних углов, не смежных с ним», вытекает из теоремы о сумме углов треуголь­ника, можно также сказать, что теорема о внеш­нем угле треугольника является следствием аксиомы параллельных.

Соотношение: ес­ли

  то

— читается так: если из высказывания b сле­дует высказывание а, то из отрицания высказывания а вы­текает отрицание вы­сказывания b. Это обстоятельство ле­жит в основе весьма  распространенного метода вывода (или доказа­тельства) «от противного». Пусть мы хо­тим доказать теорему (рис. 32): если соответст­венные углы АКМ и СLМ, образованные прямы­ми АВ и СD с секущей МN, равны между собой (это есть утверждение а), то прямые АВ и СD параллельны (это есть утверждение b). Вместо того чтобы доказывать соотношение


докажем, что


т. е. что из отрицания b вытекает от­рицание а. Предположим, что прямые АВ и СD не параллельны, т. е. что они пе­ресекаются в некоторой точке Р (рис. 33, а,б).

В таком случае углы АКМ и СLМ не будут равны (это — внешний угол треугольника РКL и не смежный с ним внутренний угол). Таким образом, соотношение



доказано; тем самым доказано и соотношение

 (стро­го говоря, здесь надо применить к соотноше­нию

 ; рассматриваемое предложение ал­гебры логики и воспользоваться законом двой­ного отрицания: если

  Ужо эти примеры показывают ту большую роль, которую играют в любой научной теории правила алгебры логики. В последние годы роль этих правил особенно сильно возросла в связи с возникшей задачей передачи целого ряда операций, выполняющихся людьми, элект­ронным вычислительным машинам. При этом оказалось необходимым научить машину пра­вилам логики, т. е. тем правилам, которыми люди обычно пользуются, зачастую не отдавая себе полного отчета в существе этих правил. Но для того чтобы эти правила могли быть заложены в «электронную память» машины, необходимо четко сформулировать их. Эти четкие формулировки и доставляет нам мате­матическая логика.

 

• АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
• Алгебра чисел 
• Алгебра множеств                            Алгебра правды и лжи
• «Нуль» и «единица»  
• Удивительная алгебра. Д. Буль    
• Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств   
• Два способа задания множества. Множества и высказывания
• Алгебра множеств и алгебра высказываний   
• Отрицание. Отношение следствия  
• Законы мысли                                  Прыгающий показатель степени
• Правила вывода                                             Ну и дроби