.
Меню сайта
|
Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множествДополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множествВернемся к установленным выше свойствам действий алгебры множеств. Сразу бросается в глаза чрезвычайно тесная связь между законами, относящимися к сложению множеств, и законами умножения. Выпишем снова эти законы: А+В=В+А, АВ=ВА; (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС); (А+В)С=АС+ВС, АВ+С=(А+С) (В+С); A +0=A, AI=А; А+I=I, АО=О; А+А=А, АА=А и т. д. Из этой таблицы видно, что всякое равенство, тождественно выполняющееся в алгебре множеств, при замене знака сложения множеств знаком умножения, и наоборот, и пустого множества О (если оно входит в наше равенство) универсальным множеством I, и наоборот, переходит в новое равенство, также тождественно выполняющееся. Сейчас мы докажем это утверждение в общем виде. Для этого нам понадобится одна своеобразная операция алгебры множеств, сопоставляющая новое множество не с двумя заданными множествами (подобно сумме А + В и произведению АВ заданных множеств), а с одним множеством А. Эта операция называется образованием дополнения и обозначается чертой, поставленной над множеством. А именно, через
(читается: «дополнение А») мы будем обозначать множество всех элементов универсального множества I, не принадлежащих множеству А. Так, если А есть множество отличников из нашего класса, то множество
состоит из всех учеников, не являющихся отличниками. На диаграмме множество ? изображается частью квадрата I, не покрытой фигурой А (рис. 24). Ясно, что (см. тот же рис. 24, на котором графически изображены множества
эти два равенства можно даже принять за определение множества
Отметим еще, что (рис. 25).
Это последнее равенство короче записывают так:
Очевидно, что
(так как все элементы входят в универсальное множество I и ни один элемент не входит в пустое множество 0). Кроме того, легко видеть, что
т.е. если множество B составляет часть множества А; то дополнение А составляет часть дополнения В
или словами: дополнение суммы двух множеств совпадает с пересечением дополнений этих множеств; дополнение произведения двух множеств совпадает с суммой дополнений этих множеств. В самом деле, па рис. 27, а заштрихованы множества А и В, а на рис. 27, б — их дополнения
Но ясно, что фигура, заштрихованная на рис. 27, а. является дополнением до всего квадрата I фигуры, покрытой на рис. 27, б двойной штриховкой, т. е. фигура это и доказывает равенство
Аналогично, фигура, покрытая на рис. 27, а двойной штриховкой. дополняет до всего квадрата фигуру, заштрихованную на рис. 27,6, откуда следует, что
Из доказанных соотношений нетрудно вывести наше утверждение, позволяющее по каждому соотношению алгебры множеств построить новое соотношение. Рассмотрим какое угодно тождество алгебры множеств, например первый дистрибутивный закон:
(А + В)С = АС + ВС. С другой стороны, нам известно, что
Далее, в силу того же закона
алгебры множеств, имеем: Но поэтому Таким образом, мы приходим к равенству: которое, очевидно, лишь по форме отличается от второго дистрибутивного закона: АВ+С=(А+С)(В+С) где вместо самих множеств А, В и С выступают их дополнения Но это совершенно несущественно, поскольку как сами рассматриваемые множества, так и их дополнения произвольны. Таким образом, с помощью образования дополнения мы вывели из первого дистрибутивного закона второй дистрибутивный закон.
|
ПОИСК
Block title
|