Законы мысли

Законы мысли

Теперь мы можем ответить на вопрос о том, почему сочинение Дж. Буля, в котором впер­вые строилась булева алгебра, посвящено выяснению «законов мысли». Дело в том, что правила алгебры высказываний есть те за­коны, которые играют руководящую роль в процессе нашего мышления.
Многие из этих законов в логике имеют специальные названия. Например, соотношение

выражает так называемый закон исключенного третьего. Этот закон мож­но сформулировать так: сумма каждого утверж­дения и его отрицания тождественно истинна. другими словами, высказывание или его отрица­ние всегда истинно. Например, тождественно истинно утверждение «он отличник или он не отличник». Другими словами, для каждого эле­мента универсального множества обязательно справедливо либо высказывание а, либо его отрицание

  третьего не дано. Соотношение

выражает закон противоречия.  Согласно этому закону, ни для одного объ­екта не может быть одновременно верно и утверждение а, и его отрицание

  На­пример, ни один ученик не может одно­временно являться и отличником, и не отличником. Но если высказывания а и

не могут быть истинны одновременно, то про­изведение

тождественно ложно, т. е. мно­жество истинности высказывания

пусто. Соотношение

выражает хорошо известный закон двойного отрицания.Этот закон утверж­дает, что отрицание отрицания совладает с исходным высказыванием. Так, отрицанием вы­сказывания «этот ученпк — мальчик» является утверждение «этот ученик—девочка», а двойное отрицание «этот ученик не девоч­ка» возвращает нас к первоначальному вы­сказыванию «этот ученик — мальчик».

Аналогичный характер имеют и все осталь­ные правила алгебры высказываний, устанав­ливающие эквивалентность (равносильность) тех или иных утверждении. Проиллюстрируем это на нескольких примерах. 
Первый дистрибутивный закон утверждает, что высказывания (a+b)с и ас+bс — это од­но и то же. Пусть а есть высказывание «он (уче­ник) умеет играть в шахматы», b — «он умеет играть в шашки» и с — «он отличник». В та­ком случае высказывание (а +b)с имеет сле­дующий смысл: «он умеет играть в шахматы или в шашки и, кроме того, он отличник», а высказывание ас +bс — смысл: «он умеет играть в шахматы и является отличником, либо он умеет играть в шашки и является от­личником». Но ясно, что эти два высказывания по существу означают одно и то же.
Второй дистрибутивный закон означает, что эквивалентны два высказывания ab+c и  (a+c) (b+c). Если высказывания a, b и с имеют тот же смысл, что и выше, то выска­зывание ab+c  означает: «он умеет играть в шашки и в шахматы или является отличником». Высказывание (а + с)(b+ с) имеет следующий смысл: «он умеет играть в шахматы или явля­ется отличником; одновременно с этим он уме­ет играть шашки или является отличником». Но нетрудно понять, что последнее высказы­вание по существу совпадает с первым — ведь если ученик, о котором здесь идет речь, не является отличником, то он обязательно умеет играть и в шахматы, и в шашки.
Наконец,  остановимся еще на так называе­мых правилах де Моргана: 

 (они называются так по имени английского ло­гика XIX в. А. де Моргана, впервые устано­вившего эти правила). Пусть, например, а — это высказывание «он умеет играть в шах­маты», b — «он умеет играть в шашки». В та­ком случае сложное высказывание


есть отрицание того, что ученик умеет играть в шахматы или в шашки. Но это отрицание, очевидно, эквивалентно утверждению о том, что ученик не умеет играть ни в шахматы, ни в шашки, т.е. высказыванию



Аналогич­но отрицание утверждения о том, что ученик умеет играть и в шахматы, и в шашки (т. е.высказывание


  равносильно утверждению о том, что он не умеет играть в шахматы или не умеет играть в шашки; но это и есть выска­зывание