|
Меню сайта
Статистика
|
Алгебра множествАлгебра множествРассмотрим систему всевозможных множеств (совокупностей) тех или иных объектов; для конкретности будем все время говорить о множествах учеников нашего класса. Сумму А + В двух множеств А и В определим как такое множество, которое получается при объединении множеств А и В; другими словами, в множество А + В входят все те, и только те объекты, которые входят в множество А или в множество В. Так, например, если А есть множество отличников из нашего класса, состоящее из учеников Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а В —множество учеников, сидящих в первом ряду, и состоящее из школьников Ильи, Гриши, Зои, Кати, Наташи и Яши, то сумма А + В этих двух множеств состоит из учеников, которые являются отличниками или сидят в первом ряду; в нее входят ученики Петя, Саша, Катя, Вера, Наташа, Илья, Гриша, Зоя и Яша (рис. 3).
То обстоятельство, что мы назвали «сложением» совершенно новую операцию, не должно нас смущать,— ведь мы и раньше каждый раз, когда переходили от чисел одной природы к числам другой природы, определяли сложение по-новому. Ясно, например, что сложение положительных и отрицательных чисел — это не то же самое, что сложение одних положительных чисел; так, сумма чисел 5 и (-3) — это то же самое, что разность чисел 5 и 3. Посмотрим теперь, сохраняют ли силу эти законы и для множеств. При этом нам удобно будет использовать специальные диаграммы, иллюстрирующие действия над множествами. Условимся обозначать весь класс (точнее говоря, множество всех учеников класса) квадратом; в этом квадрате можно расставить ряд точек, по числу учеников (рис. 4). Такие диаграммы принято называть диаграммами Эйлера или диаграммами Венна. Они позволяют наглядно представить операцию сложения множеств и проверить ее свойства. Ясно, например, что А+В=В+А (коммутативный закон для сложения множеств; рис. 7). Также ясно, что
(А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативный закон для сложения множеств; рис. 8). Сумму (А+В)+С=А+(В+С) естественно обозначать просто через А+В+С (без скобок). Определим теперь произведение А•В или АВ двух множеств А и В как множество, получаемое в пересечении множеств А и В; другими словами, в множество АВ входят те, и только те, элементы, которые входят как в множество А, так и в множество В. Так, например, если А и В — указанные выше множество отличников и множество учеников, сидящих в классе в первом ряду, то множество АВ состоит из тех учеников, которые являются отличниками и сидят в первом ряду; оно состоит всего из двух учеников — Кати и Наташи (рис. 9). Использование термина «произведение» в совершенно новом смысле оправдывается тем обстоятельством, что, как и для обыкновенного умножения, мы имеем: АВ=ВА (коммутативный закон для умножения множеств; рис. 11) и (АВ)С=А(ВС) (ассоциативный закон для умножения множеств; рис. 12). Множество (АВ)С=А(ВС) естественно обозначать просто через АBС (без скобок). Проверим теперь, выполняется ли для множеств дистрибутивный закон.
|
ПОИСК
Block title
|
Сложение дробей — не то же самое, что сложение целых чисел; рис. 1, изображающий сложение чисел, становится непригоден, когда речь заходит о дробях. Однако, называя уже знакомым нам словом «сложение» новую операцию, мы каждый раз должны были лишь «доучиваться», но не «переучиваться»,— навыки, выработавшиеся в процессе действий с целыми числами, оказываются полезными и при действиях с дробями, правила действий над положительными числами полезны и при действиях с относительными числами и т. д. Это связано с тем, что общие законы, которым подчиняется операция сложения целых чисел, остаются в силе и в дальнейшем, скажем при переходе к дробным числам; так, в обоих случаях сложение коммутативно (т. е. а+b= b+а) и ассоциативно: (а+b)+с=а+(b+с).
При этом отдельные множества учеников будут изображаться частями квадрата; так, например, изображенная на рис. 5, а фигура графически иллюстрирует множество А отличников, а изображенная на рис. 5,б — множество В учеников, сидящих в первом ряду. Под суммой двух множеств А и В понимается фигура, получаемая объединением фигур, изображающих множества А и В (рис. 6). 
На рис. 10 то же множество АВ изображено на диаграмме как пересечение множеств А и В.
На рис. 13, а заштрихованы множества A+В и С, при этом двойной штриховкой оказывается покрыто множество (А + В) С. 
На рис. 13, б различно заштрихованы АС к ВС; при этом как-то заштриховано множество А С + ВС. Но легко видеть, что множество, покрытое двойной штриховкой на рис. 13, а,— это в точности то множество, которое заштриховано на рис. 13, б. Отсюда заключаем: в «алгебре множеств» выполняется дистрибутивный закон:(А+В)С=АС+ВС.