АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ. Алгебра чисел

АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ. Алгебра чисел

В арифметике и алгебре рассматривают числа разной природы — целые числа, рациональ­ные числа (дроби) и другие. Во всех случаях с каждыми двумя числами а и b сопоставляются еще два числа a+b и ab, называемые сум­мой и произведением чисел а и b. Определение суммы и произведения двух чисел различно для чисел разной природы. Так, если a есть целое положительное число, то его можно представлять себе как число предметов в некотором наборе. При этом сумма а + b означает число предметов, которое мы полу­чим, если объединим первый набор, содержа­щий а предметов, и второй набор, содержащий b предметов (рис. 1).

Если же объединим b наборов, каждый из которых содержит по а предметов, то всего мы получим ab предметов (рис.2)

Более сложно определяются сумма и произведение дробей — например, так:

Здесь числа a₁, a₂, b₁, b₂ — целые. Иные правила относятся к сложению и умножению отрицательных чисел: среди этих правил есть, скажем, такое:

(- а)(-b)=+ab.

Но независимо от природы рассматривае­мых чисел и от определения суммы и произве­дения чисел общие законы действия над чис­лами остаются одни и те же. Вот эти законы:

а+b=b+a

(коммутативный, или переместительный, закон для сложения);

ab=ba

(коммутативный, или переместительный, закон для умножения);

(а+b)+с=а+(b+с)

(ассоциативный, или сочетательный, закон для сложения);

(ab)c =а(bс)

(ассоциативный, или сочетательный, закон для умножения);

(а+b)с=ас+bc

(дистрибутивный, или распредели­тельный, закон).

При этом сразу бросает­ся в глаза, что правила, от­носящиеся к сложению чи­сел, очень похожи на правила умножения.

Например:

а+b=b+a и аb=bа, (а+b)+с=а+(b+с) и (аb)с= а(bс).

Это сходство между действиями сложения и умножения находит отражение и в сущест­вовании двух замечательных чисел 0 и 1 —таких, что прибавление одного из них и умно­жение на второе не меняют ни одного числа: a+0=а и a•1=а.

Следует, впрочем, заметить, что сходство между действиями сложения и умножения не простирается особенно далеко. Так, например, число 0 играет особую роль не только по отно­шению к сложению, но и по отношению к умно­жению: эта особая роль числа 0 определяется замечательным равенством а•0=0. (Из это­го равенства, в частности, вытекает, что де­лить на 0 число

нельзя.) В противо­положность этому, число 1 по отношению к опе­рации сложения не играет никакой особой роли: равенство, которое получается из равен­ства а • 0 = 0 заменой числа 0 на число 1 и операции умножения — операцией сложения:

а + 1 = 1,

почти никогда не будет верным. (Это равен­ство справедливо лишь при а =0.) Также и дистрибутивный закон:

(а+b)с=ас+bc

подчеркивает различие между действиями сложения и умножения. Если заменить в записи этого закона сложение умножением и наоборот, то получим курьезное «равенство»:

(а•b)+с=(а+с)•(b+с),

как правило, не выполняющееся: так, 1•2+3=5, а (1+3)•(2+3)=20. (Равенство (а •b)+с=(а+с)•(b+с) справедливо лишь при с=0 и при а+b+с=1.)

В математике, однако, операции сложения и умножения определяются не только для чисел. При этом иногда удается прийти к «ал­гебре», в которой сходство между операциями сложения и умножения оказывается большим, чем в обычной «числовой» алгебре. В качестве примера можно указать «алгебру множеств».

• АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
• Алгебра чисел 
• Алгебра множеств                            Алгебра правды и лжи
• «Нуль» и «единица»  
• Удивительная алгебра    
• Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств   
• Два способа задания множества. Множества и высказывания
• Алгебра множеств и алгебра высказываний   
• Отрицание. Отношение следствия  
• Законы мысли                                  Прыгающий показатель степени
• Правила вывода                                             Ну и дроби