Алгебра множеств и алгебра высказываний

Алгебра множеств и алгебра высказываний

Высказывания мы будем обозначать малыми буквами латинского алфавита; отвечающие этим высказываниям множества истинности будем обозначать большими буквами. Так, выска­зываниям а — «он отличник» и b — «он сидит в первом ряду» отвечают указанные выше множества истинности А и В. Тождественно ложное высказывание всегда будем обозначать буквой о, а тождественно истинное выска­зывание — буквой i.

Рассмотрим теперь две операции, позволяю­щие по двум высказываниям строить новые, составные высказывания. В математической логике эти операции называются латинскими терминами «дизъюнкция» и «конъ­юнкция» и обозначаются специальными значками ˅ и ˄ так, а ˅ b означает дизъюнк­цию высказываний а и b, а ˄ b — конъюнкцию (сравним с обозначениями суммы и произведе­ния, или объединения и пересечения, мно­жеств, см Удивительная алгебра). Мы здесь для простоты почти не будем употреблять этих сложных терминов и символов; вместо этого будем говорить о сумме а+b и произ­ведении аb высказываний а и b.

Под суммой (дизъюнкцией) вы­сказываний а и b понимается высказывание, которое мы получим, если объединим высказы­вания а и b союзом «или». Например, если а есть высказывание «он отличник», a b — вы­сказывание «он сидит в первом ряду», то через a+b будем обозначать высказывание «он является отличником или сидит в первом ря­ду». При этом частичку «или» мы будем всегда понимать в смысле: «или первое, или второе, или то и другое вместе». Ясно, что если А есть множество истинности высказывания a, а В — множество истинности высказывания 6, то множеством истинности высказывания а+b будет А+В (рис. 28). Так, в рассматривае­мом примере множество истинности высказы­вания а состоит из школьников Пети, Саши, Кати, Веры и Наташи, а множество истинности высказывания b — из школьников Ильи, Гри­ши, Зои, Кати, Наташи и Яши; множество же истинности высказывания а+b образуют де­вять школьников: Петя, Саша, Катя, Вера, Наташа, Илья, Гриша, Зоя и Яша.

Под произведением (конъюнк­цией) высказываний а и b мы будем понимать высказывание ab, получаемое, если объеди­нить высказывания а и b, связав их союзом «и». Итак, множеством истинности высказывания ab является произведение (пересечение) множеств истинности высказываний а и b (рис. 29). В нашем примере это множество ab состоит из двух учениц — Кати и Наташи.

Условимся еще называть два высказывания одинаковыми, или эквивалентными, если им отвечает одно и то же множество истинности. Эквивалентность высказываний будем обозначать обычным знаком равенства. Равенство а=b означает, что содержащиеся в высказываниях а и b признаки, выделяющие определенную часть универсального множе­ства, равнозначны, имеют один и тот же смысл, разнятся только своей формой. При изучении высказываний естественно не различать между собой эквивалентные высказывания, например «он отличник» и «он имеет отличные оценки».

Мы установили, что множество истинности суммы двух высказываний совпадает с суммой множеств истинности этих высказываний; мно­жество истинности произведения двух высказы­ваний совпадает с произведением множеств истинности этих высказываний. Отсюда сле­дует, что все известные нам правила алгебры множеств можно перевести на язык алгебры высказываний. Так, например:

а+b=b+a,                                 ab=ba;

(a+b)+c=a+(b+с),                 (ab)c= a(bc);

(a+b)c=ас+bc,                        ab+с=(а+c)(b+c);

a+0=a,                                      ai=a;      

a0=0,                                        a+i=i;

a+a=a,                                      aa=а и т. д.

Докажем для примера первый дистрибутив­ный закон для высказываний, т. е. равенство:

(а+b)с=ас+bc.

В соответствии с нашим условием множества истинности высказываний a, b и с обозначаются через А, В и С. При этом высказывание (а+b)с имеет своим множеством истинности (А+В)С; высказывание ас+bc имеет своим множеством истинности АС+ВС. Но множе­ства (А+В)С и АС+ВС совпадают; это значит, что высказывания (a+b)c и ас+bc эквивалентны.

Запишем еще законы алгебры высказыва­ний в той форме, в которой они приводятся в книгах по математической логике:

        a˅b=b˅а,

(а˅b)˅с=а˅ (b˅с),

(а˅b)˄с=(а˄с) ˅ (b˄с),

       а˄b=b˄a,

(а˄b)˄ с=а˄ (b˄с),

(а˄b)˅с=(а˅с) ˄  (b˅с).

а˅0=а,                  а˄i=а,

а˄0=0,                  а˅i= i,

а˅а=а,                  а ˄а=а.

• АЛГЕБРА МНОЖЕСТВ И АЛГЕБРА ЛОГИКИ
• Алгебра чисел 
• Алгебра множеств                            Алгебра правды и лжи
• «Нуль» и «единица»  
• Удивительная алгебра. Д. Буль    
• Дополнение множества. Аналогия между сложением и умножением множеств   
• Два способа задания множества. Множества и высказывания
• Алгебра множеств и алгебра высказываний   
• Отрицание. Отношение следствия  
• Законы мысли                                  Прыгающий показатель степени
• Правила вывода                                             Ну и дроби