Преобразования как основа классификации теорем. Ф. Клейн

Преобразования как основа классификации теорем. Ф. Клейн

Немецкий математик Ф. Клейн в конце прошлого столетия предложил положить гео­метрические преобразования в основу класси­фикации всех свойств геометрических фигур и тел. Он предложил различать геометриче­ские свойства по тем преобразованиям, при которых эти свойства сохраняются. К одной группе при этом будут относиться те свойства, которые сохраняются лишь при движениях фигур; сюда относятся все свойства, свя­занные с расстояниями между точками, и все теоремы, в которых фигурируют длины или площади (например, теорема: площадь тре­угольника равна половине произведения длины основания на длину опущенной на основание высоты). В другую группу попадут свойства, сохраняющиеся при преобразовани­ях подобия, например все свойства, связанные с величинами углов; к этой группе свойств относится, скажем, известное свойство прямоугольного треугольника с углом в 30° (ведь отношение длины гипотенузы к длине меньшего катета также сохраняется при пре­образованиях подобия!).

Еще одну группу со­ставят свойства геометрических фигур, сохра­няющиеся при линейных преобразованиях. Далее можно будет рассмот­реть свойства фигур, сохраняющиеся при проективных преобразованиях, и т. д. Так как линейные преобразования изме­няют свойства фигур сильнее, чем движения, то свойства, сохраняющиеся при этих преоб­разованиях, следует считать более глубокими; с этой точки зрения свойство треугольника, выражаемое теоремой: «медианы треугольника пересекаются в одной точке», оказывается бо­лее глубоким, чем, скажем, аналогичное свой­ство высот треугольника. Еще более глубокими следует считать те свойства фигур, которые сохраняются при проективных преобразовани­ях, очень сильно изменяющих фигуру.

Такая классификация геометрических тео­рем (Клейн даже говорил об отдельных «геомет­риях», охватывающих изучение свойств фигур, сохраняющихся при тех или иных преобразо­ваниях) поясняет сказанное выше об использо­вании геометрических преобразований для до­казательства теорем. Все свойства, сохраняю­щиеся при линейных преобразованиях, будут одинаковы для окружности и для эллипса; поэтому при рассмотрении их мы всегда можем ограничиться изучением окружности, являющейся частным случаем эллипса (окружность — это сечение кругового цилиндра плоскостью, параллельной основанию цилиндра). Точно так же при изучении соответствующих свойств треу­гольника мы можем считать его равносторонним, при изучении свойств параллелограмма — при­нять его за квадрат и т. д. При изучении проек­тивных свойств произвольного четырехугольни­ка можно считать его квадратом, а при изучении проективных свойств конического сечения — принять это коническое сечение за окружность и т. д. Таким образом, точка зрения Клейна, выделяющая ряд отдельных ветвей геометрии, может существенно помочь при доказательстве геометрических теорем.

• ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
• Что такое геометрия
• Примеры движения плоских фигур
• Преобразования подобия
• Линейные преобразования                    Три геометрические головоломки
• Эллипс                                                          Сколько разверток у куба?
• Проективные преобразования            Лист Мебиуса
• Преобразования как основа классификации теорем          Как разрезать куб