.
Меню сайта
|
Преобразования подобияПреобразования подобияПреобразования, сохраняющие форму фигур, но, возможно, изменяющие их размеры, называются преобразованиями подобия. Каждую фигуру F преобразование подобия переводит в подобную ей фигуру F', представляющую собой увеличенную или уменьшенную копию первоначальной фигуры; все размеры фигуры F' равны соответствующим размерам фигуры F, умноженным на одно и то же число k (рис. 15). Это число называется коэффициентом подобия двух фигур. Подобные фигуры можно получить, например, поместив под лампой вырезанную из куска картона фигуру F, плоскость которой параллельна поверхности стола; в таком случае тень F', отбрасываемая этой фигурой на стол, будет подобна F (рис. 16). Более «математический» пример преобразования подобия представляет собой гомотетия с центром О и коэффициентом k, переводящая каждую точку А в такую точку А' луча ОА, что OA'/OA=k (рис. 17). Некоторые свойства фигуры F', подобной фигуре F, будут отличаться от свойств фигуры F; так, например, гомотетия с коэффициентом 2 переводит фигуру ABCD в фигуру A'B'C'D', площадь которой в 4 раза больше площади фигуры ABCD (рис. 17). Но большинство свойств фигуры F' будет совпадать со свойствами фигуры F: так, все имеющиеся на фигуре F' углы будут равны соответствующим им углам, имеющимся на фигуре F; отношение расстояний между какими-либо точками фигуры F' будет равно отношению расстояний между соответственными точками фигуры F (см. рис. 15, где, скажем, AB/CD=A'B'/C'D') и т. д. Таким образом, преобразования подобия меняют свойства геометрических фигур очень мало: окружность они переводят снова в окружность, квадрат — в квадрат, равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40° — снова в равнобедренный треугольник с углом при вершине в 40° и т. д. Эти свойства преобразований подобия иногда могут быть использованы для решения содержательных геометрических задач. Поставим, например, такую задачу: определить, что представляет собой множество середин всех отрезков AM, где точка А фиксирована, а точка М пробегает, скажем, равностороннюю гиперболу G (график обратной пропорциональной зависимости). Очевидно, что искомое множество точек образует фигуру G', гомотетичную гиперболе G с центром гомотетии А и коэффициентом гомотетии 1/2. Отсюда следует, что это будет точно такая же гипербола, только в 2 раза «меньшая» (такая, что расстояние между двумя точками гиперболы G' в 2 раза меньше расстояния между соответствующими точками гиперболы G; рис. 18).
|
ПОИСК
Block title
|