|
Меню сайта
Статистика
|
ЭллипсЭллипсВот еще пример на использование свойств линейных преобразований. Линейное преобразование уже не переводит окружность снова в окружность — оно переводит ее в другую линию, называемую эллипсом (рис. 25). Эллипс можно определить как линию, получающуюся при сечении кругового цилиндра произвольной плоскостью (рис. 26); это означает, что эллипс образуется из окружности в результате параллельного проектирования. Заметим, что центр О окружности S является ее центром симметрии, т. е. что все проходящие через О хорды окружности S делятся этой точкой пополам (рис. 27, а). Линейные преобразования не сохраняют отношения длин отрезков, принадлежащих разным прямым; поэтому проходящие через точку О радиусы окружности S переходят в «радиусы» эллипса S', пересекающиеся в одной точке О', но уже не равные между собой (рис. 27, б). Число примеров подобного рода можно увеличить. Проведем из точки М к окружности S касательные МА и MB (рис. 28. а). Мы знаем, что МА=MB; что ОМ^АВ, где О — центр окружности S', что АК=КВ, где К — точка пересечения ОМ и АВ (все эти факты следуют из того, что прямая ОМ есть ось симметрии; см. рис. 28, а). Равенство отрезков МА и МB не может быть перенесено на эллипс (отношение длин отрезков, принадлежащих разным прямым, не сохраняется при параллельном проектировании); перпендикулярность прямых ОМ и АВ также характерна именно для окружности (углы не сохраняются при линейных преобразованиях). А вот то обстоятельство, что отрезки АК и КB, принадлежащие одной прямой, равны между собой, имеет место и в случае эллипса: если из внешней точки М' провести к эллипсу S' с центром О' касательные М'А' и М'В', то прямая О'М' разделит хорду А'В' пополам (рис. 28, б). Докажем еще, что середины всех параллельных между собой хорд эллипса принадлежат одной прямой, проходящей через центр эллипса (диаметр у эллипса).
|
ПОИСК
Block title
|
Но отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой, при линейном преобразовании сохраняется, и поэтому все проходящие через точку О' хорды эллипса S' делятся в этой точке пополам. Таким образом, мы убеждаемся, что каждый эллипс S' обладает центром симметрии О'; эту точку О' часто называют просто центром эллипса.
В самом деле, пусть наш эллипс S' получился линейным преобразованием (скажем, центральным проектированием) из окружности S. Середины всех параллельных между собой хорд окружности принадлежат одной прямой, проходящей через центр О окружности и перпендикулярной проведенным хордам (рис. 29, а). При линейном преобразовании параллельные между собой хорды окружности S переходят в параллельные хорды эллипса S', а диаметр d окружности, делящий ее хорды пополам,— в диаметр d' эллипса, делящий пополам параллельные хорды эллипса (рис. 29, b).