|
Меню сайта
Статистика
|
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Что такое геометрияГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. Что такое геометрияПрежде чем завести разговор о геометрических преобразованиях, остановимся на вопросе о самом содержании предмета геометрии; впоследствии мы увидим, что к понятию геометрического преобразования этот вопрос имеет самое непосредственное отношение. Геометрия изучает свойства плоских фигур и пространственных тел. Однако в геометрии рассматриваются вовсе не все свойства фигур или тел. Ясно, например, что цвет или вес тела для геометра безразличен — геометрические свойства куба останутся одними и теми же независимо от того, идет ли речь о металлическом кубе или о кубе, сделанном из фанеры и окрашенном в красный цвет. (Заметим, что физические свойства этих двух кубов во многом будут различны.) Также и расстояние от вершины изображенного на доске треугольника до края доски не интересует геометра. Один из двух равных между собой треугольников (рис. 1) расположен заметно ближе к краю MQ доски, чем второй; однако все геометрические свойства этих треугольников — их соответственные стороны, углы, высоты, медианы, площади, радиусы вписанной и описанной окружностей, расстояние от центра описанной окружности до точки пересечения медиан и т. д.— будут одинаковыми. Как же охарактеризовать тот круг свойств фигур и тел, который интересует геометра? Все свойства тел, которые рассматриваются в геометрии, полностью определяются формой и размерами тела и никак не зависят от его расположения. Другими словами, это означает, что каждые две равные фигуры или два равных тела обладают в точности теми же самыми геометрическими свойствами; поэтому геометр не может иметь никаких оснований для того, чтобы как-либо различать эти фигуры или тела. Это обстоятельство подразумевается и самим названием «равные тела». Ведь «равные числа» в арифметике — это не что иное, как одно и то же число; так, 1/2 и 3/6 это одно и то же число, только записанное по-разному. Точно так же в геометрии слова «равные фигуры» иногда заменяют выражением «одна и та же фигура». Так, например, говорят, что задача построения треугольника АBС по двум сторонам ВС=а и АС=b и углу АСВ=g имеет единственное решение (рис. 2). На самом деле существует, конечно, очень много (даже бесконечно много!) треугольников, имеющих две стороны длин а и b и заключенный между ними угол величины у (рис. 3). Однако все эти треугольники равны между собой; поэтому мы их принимаем за один треугольник.
|
ПОИСК
Block title
|
Вспомним теперь, какие фигуры или тела считаются в геометрии равными.
Две фигуры F и F' (рис. 4) называются равными, если при наложении одной из них на другую они совпадают всеми своими точками, другими словами — если существует движение, при помощи которого можно совместить фигуру F с фигурой F'. Таким образом, само определение равенства фигур (или тел) связано с понятием движения. Учитывая определение равенства фигур, мы можем сказать, что фигуры, получающиеся одна из другой движением, считаются в геометрии одинаковыми, не различаются между собой; все геометрические свойства одной из этих фигур совпадают с геометрическими свойствами другой фигуры. Последнее обстоятельство можно принять за определение геометрических свойств, т. е. тех свойств фигур и тел, которые изучаются геометрией: геометрия изучает те (и только те!) свойства фигур и тел, которые сохраняются при движениях.