|
Меню сайта
Статистика
|
Проективные преобразованияПроективные преобразованияРассмотрим теперь тень, отбрасываемую вырезанной из картона фигурой, помещенной под электрической лампочкой, на поверхность стола, не обязательно параллельную плоскости фигуры (рис. 30). Эта тень может очень сильно отличаться от исходной фигуры — однако начерченная на фигуре прямая линия перейдет при этом снова в прямую. Здесь мы имеем дело с центральным проектированием фигуры из точки на плоскость стола, переводящим каждую точку фигуры в точку пересечения прямой с плоскостью стола. Центральное проектирование доставляет нам пример проективного преобразования. Проективные преобразования гораздо сильнее меняют свойства фигур, чем линейные; так, квадрат ABCD они могут перевести в произвольный четырехугольник A'B'C'D' (рис. 31). Однако и здесь можно указать ряд свойств геометрических фигур, сохраняющихся при центральных проектированиях, и воспользоваться этим для вывода интересных свойств произвольных четырехугольников из свойств квадрата. Проективные преобразования переводят окружность в так называемые конические сечения. Это название связано с тем, что если центральное проектирование с центром О переводит окружность S в фигуру S', то S' представляет собой плоское сечение кругового конуса с вершиной О (рис. 32).
|
ПОИСК
Block title
|
Можно доказать, что к числу конических сечений принадлежат как рассмотренный выше эллипс, так и изучаемые в средней школе гипербола (график обратной пропорциональной зависимости) и парабола (график функции y=х2). Используя это обстоятельство , а также общие свойства проективных преобразований, можно доказать, что гипербола и парабола обладают рядом интересных свойств, родственных свойствам окружности и эллипса. 