|
Меню сайта
Статистика
|
Линейные преобразованияЛинейные преобразованияРассмотрим тень, отбрасываемую на солнце вырезанной из картона фигурой F на плоскость a, не обязательно параллельную этой фигуре (рис. 19). Фигура F' может значительно отличаться от первоначальной фигуры F; так, каждый знает, насколько сильно искажены на тени истинная форма и размеры предметов, если солнце стоит достаточно низко (рис. 20). Квадрат ABCD параллельное проектирование уже не переведет в квадрат; однако оно переведет его в параллелограмм, который отличается от квадрата не так уж резко. Геометрические преобразования, обладающие такими свойствами, называются линейными преобразованиями. К числу линейных преобразований относится, например, так называемое сжатие к прямой l, которое описывается так: точку А плоскости сжатие к прямой l переводит в такую точку А', что точки А и А' лежат на одном перпендикуляре к прямой l и PA'/PA=k: где Р — основание перпендикуляра (рис. 22). прямой l). Нетрудно убедиться, что сжатие к прямой также переводит прямую линию снова в прямую, параллельные прямые переводит в параллельные, сохраняет отношения длин отрезков, принадлежащих одной прямой. Знание свойств, сохраняющихся при линейных преобразованиях, позволяет использовать эти преобразования для доказательства некоторых геометрических теорем. Рассмотрим еще и такой пример. Ясно, что каждый треугольник АВС можно параллельным проектированием перевести в равносторонний треугольник АБС' (рис. 24; треугольники АBС' и ABC расположены в разных плоскостях; СС ' — направление проектирования). При этом медианы треугольника АBС переходят в медианы треугольника АBС' (это следует из свойств параллельного проектирования). Но медианы равностороннего треугольника являются одновременно и биссектрисами; поэтому они пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в треугольник АBС' А отсюда следует, что также и медианы исходного треугольника АBС пересекаются в одной точке. Это доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника является, вероятно, простейшим!
|
ПОИСК
Block title
|
Геометрически переход от фигуры F к ее тени F' описывают как параллельное проектирование, переводящее каждую точку А фигуры F в такую точку А ' плоскости a, что АА'? а, где а — заданная прямая, характеризующая направление проектирования (ибо лучи солнца можно считать параллельными). 
Однако некоторое сходство между фигурой F и ее тенью F' и тут сохранится. Так, например, каждая, прямая, проведенная в плоскости фигуры F, перейдет снова в прямую линию (рис. 21); параллельные прямые перейдут в параллельные прямые; отношение длин отрезков, принадлежащих одной прямой (но не разным прямым!), при параллельном проектировании сохранится (см. рис. 21, где AB/BC=A'B'/B'C'). 
Постоянное число k называется коэффициентом сжатия к прямой (при k>l было бы правильнее говорить о «растяжении» от 
Разумеется, квадрат ABCD и получающийся из него параллельным проектированием параллелограмм A'B'C'D' имеют много разных свойств; однако те свойства, которые сохраняются при линейных преобразованиях, совпадают у квадрата и у параллелограмма. Выберем произвольную точку Е на диагонали АС квадрата ABCD и проведем через нее отрезки MN ? АВ и PQ?ВС (рис. 23, а). Нетрудно видеть, что прямая А С явится осью симметрии полученного чертежа; поэтому прямые MQ и PN (симметричные относительно прямой АС!) пересекутся на прямой АС. А отсюда вытекает, что и отрезки M'N'?А'В' и P'Q'?В'С', 
пересекающиеся на диагонали А'С' параллелограмма A'B'C'D', отсекают от параллелограмма меньшие параллелограммы M'D'Q'E' и N'B'P'E', диагонали M'Q' и N'P' которых пересекаются на прямой А'С' (рис. 23, б). Доказать это, не пользуясь линейными преобразованиями, было бы затруднительно!
