Задача о двух параллелограммах

Задача о двух параллелограммах

Пусть точки А, В, С, D — последователь­ные вершины параллелограмма; А', В', С', D' — последовательные вершины другого па­раллелограмма. Обозначим точки, являющиеся серединами отрезков АА', BВ', СС', DD', соответственно буквами А", B", С", D".

Что можно сказать о четырехугольнике А"В"С"D"? Посоветуем прежде всего сделать аккуратный чертеж, соответствующий усло­вию задачи, он сразу подскажет ответ: че­тырехугольник A"B"C"D" — параллело­грамм, у которого точки А", С" и В", D" — противоположные вершины.

Теперь следует дать геометрическое дока­зательство нашего (подсказанного только что проделанным опытом) предположения — пусть это сделает читатель самостоятельно. А сейчас познакомимся с новым — алгебраическим — методом решения этой задачи.

Начнем с того, что запишем, как это всегда делают при алгебраическом методе решения,

условие задачи с помощью формул. С этой целью выберем прежде всего какую-либо точ­ку в качестве начала всех радиус-векторов тех 8 точек, которые заданы в условии задачи:

Обозначим буквой М середину диагонали А С первого параллелограмма. Тогда, в силу формулы (8):

 Примем теперь во внимание, что эта точка М является также и серединой диагонали BD; поэтому

 Из равенств (α) и (α') следует, что

Словами: если А, В, С, D — последовательные вершины какого-либо параллелограмма, то их радиус-векторы (относительно произвольно вы­бранного начала) удовлетворяют равенству (9).

Легко убедиться в справедливости и об­ратной теоремы: если радиус-векторы точек А, В, С, D (не лежащих на одной прямой) удов­летворяют равенству (9), то эти точки яв­ляются последовательными вершинами парал­лелограмма .

В самом деле, пусть М — середина отрезка АС, N — середина отрезка BD. Тогда, в силу основного правила (8), получим:

Равенство (9) записывает, таким образом, первую треть условия задачи; другая треть запишется, очевидно, равенством:

 Перейдем теперь к алгебраической записи требований, содержащихся в доказываемой нами теореме; они, очевидно, состоят в том, что нужно доказать справедливость равенства:

 

 (потому что его справедливость есть, как мы это выше установили, условие того, что точки А", В", С", D" — вершины параллелограмма). Приступая к доказательству справедливо­сти формулы (10), примем сначала во внима­ние, что по условию задачи (еще не записан­ная оставшаяся треть условия!)












Нетрудно, однако, убедиться в том, что пра­вые части равенств (β) и (β') равны между собой — это сразу следует из формул (9) и (9'), с помо­щью которых мы записали условие задачи. Отсюда следует, что и левые части формул (β) и (β') равны между собой, т. е. что


 поэтому оказывается справедливым равен­ство, которое и требовалось доказать.

 

• ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ПОМОГАЕТ ГЕОМЕТРИИ
• Зачем изучают векторную алгебру    
• Важная для геометрии алгебраическая формула  
• Задача о двух параллелограммах 
• Экономное обозначение для радиус-векторов
• Три задачи о треугольнике
• Задача о двух центральных шестиугольниках   
• Задача о двух серединах  
• Решите сами следующие задачи