.
Меню сайта
|
Решите сами следующие задачиРешите сами следующие задачи1. Условимся в следующих обозначениях:
А'+А+А+А=4•А и т. д. (α) Доказать, что для произвольных целых чисел m и n справедливы равенства: m•А+n•А=(m+n)•А; (β1) m•(А+В)=m•А +m•В; (β2) n•(m•А)=(n•m)•А. (β3) Справедливость формул (b) делает целесообразным называть вектор m•А произведением числа т к вектора А. Таким образом, эта операция обладает свойством распределительности (формулы β1 и β2) и сочетательности (формула β3). 2. Пусть С — середина отрезка АВ, С' — середина отрезка АС и С" — середина отрезка С'В. Выразить радиус-векторы точек С' и С" через радиус-векторы точек А и В. Ответ. 4•С'=3. А+В; 4•С"=А+3•В. 3. Средним отрезком произвольного четырехугольника (даже и не плоского) называют отрезок, соединяющий середины его двух противоположных сторон. Доказать, что средние отрезки четырехугольника пересекаются и делят друг друга пополам. Указание к решению. Если А, В, C,D — последовательные вершины четырехугольника и если точка М — середина среднего отрезка, соединяющего середину стороны АВ с серединой стороны CD, то 4•М=(А+В)+(С+D). Точку пересечения обоих средних отрезков называют центроидом четырехугольника ABCD. 4. Каждая треугольная пирамида ABCD имеет три пары противоположных ребер: АВ и CD; АС и BD; AD и ВС. Средним отрезком пирамиды называют отрезок, соединяющий середины какой-либо пары противоположных ребер. Доказать, что все три средних отрезка пирамиды пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Эту точку называют центроидом пирамиды. 5. Доказать, что если S1, S2, S3, S4 — середины сторон А1А2, А2А3, А3А4, А4 А1 произвольного (даже и не плоского) четырехугольника, то они являются последовательными вершинами параллелограмма 6. Для произвольного восьмиугольника А1А2...А8 построены центроиды1 S1, S2, ..., S8 четырехугольников: А1А2А3А4, А2А3А4А5, ..., A5A6A7A8, A6A7A8A1, ..., А8А1А2А3. Доказать, что восьмиугольник S1S2 ...S8 — центральный, т. е. что его диаметры S1S5, S2S6, S3S7, S4 S8 пересекаются в общей точке, которая делит каждый из них пополам. 7. Пусть точки B1, B2, ...,В6 — середины сторон А1А2, A2A3, ..., А5А6, А6А1 центрального шестиугольника. Доказать, что они также являются последовательными вершинами центрального шестиугольника. Каково взаимное расположение центров обоих шестиугольников? Ответ. Они совпадают. 8. По двум заданным центральным шестиугольникам А1А2...А6 и B1B2...B6 построить шестиугольник C1C2...C6 такой, что его вершина Сi симметрична вершине Аi, относительно середины отрезка BiB i+1 (i = 1, 2, ..., 6; B7=B1). Что можно сказать о многоугольнике C1C2...C6? Ответ. Он центральный; его центр симметричен центру многоугольника А1,...А6 относительно центра многоугольника В1...В6. 9. Сформулировать и решить задачу для двух центральных восьмиугольников, аналогичную предыдущей задаче. 10. Доказать, что -(A+В)=(-А)+(-В). Указание. Используя сочетательное свойство сложения и формулы (4') и (4"), убедиться в справедливости равенства: (А+В)+{(- А) + ( - В)}=PP®. 11. Найти вектор X, удовлетворяющий уравнению: Х+А=В. Доказать, что это решение единственное. Ответ. X=В+(-А). Замечание. Вектор В+(-А) называют разностью векторов; B (уменьшаемый вектор) л А (вычитаемый). В векторной алгебре его принято обозначать: В-А. Поэтому в последующих задачах используется равенство: В-А=В+(-А). 12. Доказать, что (А+В)-С=А+(В-С). Каждый из этих векторов принято записывать: А + В — С. 13. Доказать, что А-(В+С)=(А-В)-С. (Принята запись: (А-В)-С=А-В-С.) 14. Доказать, что А-(В-С)=(А-В)+С. (Принята запись: (А-В)+С=А-В+С.) 15. По заданным радиус-векторам точек А и С выразить (вычислить) радиус-вектор точки A', симметричной точке А относительно точки С. Ответ. А'=2•С-А. 16. Точка М отражается от вершины А1 произвольного треугольника A1A2A3, т. е. строится точка M1; симметричная точке М относительно точки А1. Полученная точка М1 отражается от вершины А2; получаем точку M2, которую отражаем от вершины А3; возникает точка М3. Что можно сказать о взаимном расположении точки М3 относительно исходной точки М? Ответ. Точка М3 симметрична точке М относительно точки A4, которая является четвертой вершиной параллелограмма, построенного на векторах
17. На отрезке MN расположены точки M1 и М2 так, что M1 есть середина отрезка MM2, а М2 — середина отрезка M1N. Выразить радиус-векторы точек М1 и M2 через радиус-векторы точек М и N.
18. Разделим какую-либо медиану треугольника АBС на три равных отрезка и рассмотрим ту точку деления S, которая ближе к основанию. Выразить радиусы-векторы точки S через радиус-векторы точек А, В, С. Указание. Конец А' медианы АА' имеет радиус-вектор
далее использовать результат предыдущей задачи.
он показывает, что точка S лежит и на медиане ВВ', и на медиане СС' (таким образом, получено векторное доказательство известной теоремы о трех медианах). Точку S называют центроидом треугольника. 19. Для заданного произвольного шестиугольника А1А2А3А4А5А6 построим центроиды S1, S2, S3, S4, S5, S6 треугольников A1A2A3, А2А3А4, ..., А5А6А1, А6А1А2. Доказать, что точки Si — последовательные вершины центрального шестиугольника. 1 См. задачу 3.
|
ПОИСК
Block title
|