Сумма многих векторов

Сумма многих векторов

Что такое сумма трех векторов? Ответ как будто очень простой — достаточно сложить два из них и полученный сложить с третьим. Но тут возникает вопрос: какие же два вектора из заданных трех сложить в первую очередь?

Однако теперь, когда мы убедились в спра­ведливости переместительного и сочетательного свойств сложения векторов, можно устано­вить понятие суммы трех векторов

 не заботясь о том, какое из этих трех слагаемых считать первым, какое вторым, какое третьим.


В самом деле, все 6 возможных случаев (они указаны на таблице) дадут в результате не 6 различных векторов, а один и тот же век­тор

— это легко следует из доказанных на­ми двух свойств операции векторного сложения. Теперь уже нетрудно понять, как составить сумму и четырех векторов

 (не беспокоясь опять о том, в каком порядке они заданы). Выберем какие-либо три из этих  векторов

и составим их сумму:
Прибавив к ней остав­шееся четвертое слагаемое, получим вектор:


Если бы мы начали со сложения других трех слагаемых, то получили бы еще три воз­можных вектора:

Какой из этих четырех векторов

следует назвать суммой наших четырех слагаемых?

На этот вопрос трудно (и даже невозможно!) было бы ответить, если бы операция сложения

двух векторов не обладала свойствами переме­стительности и сочетательности. Но, к сча­стью, эти свойства имеют место, а из них логически следует, что все четыре вектора

равны между собой. Так, например:







Правые части этих формул равны между собой, и, следовательно,



Легко теперь понять, что результат сложе­ния пяти слагаемых (шести, семи и т. д.) также не зависит от порядка, в котором они будут складываться. Можно также убедиться в справедливости сочетательного свойства сум­мы многих слагаемых, т е. доказать, что при нахождении суммы любого числа слагаемых век­торов можно их произвольным образом сочетать в две группы: в первую войдут какие-либо из слагаемых, во вторую — все остальные. Если теперь составить сумму всех слагаемых, входя­щих в первую группу, и прибавить к ней сумму всех слагаемых, входящих во вторую группу, то получится вектор, равный сумме всех исходных векторов.

В дальнейшем мы познакомим читателя еще и с другими действиями над векторами: вычита­нием вектора и умножением вектора и числа. Основные свойства этих операций мы запишем в общей, буквенной форме и таким образом ознакомимся с основами векторной алгебры.

• АЛГЕБРА ВЕКТОРОВ

• АРИФМЕТИКА НАПРАВЛЕННЫХ ОТРЕЗКОВ
• Направленные отрезки — векторы 
• Правила сложения векторов, приложенных в точке Р 
• Равнодействующая сила    
• Особый вектор — вектор нуль 
• Свойства операции сложения векторов 
• Сумма многих векторов