Свойства операции сложения векторов

Свойства операции сложения векторов

Совпадают ли они со свойствами операции сложения чисел?

Начнем проверку со свойства перемести­тельности. Нетрудно убедиться, что

Теперь выясним, обладает ли операция сло­жения векторов свойством сочетательности, т. е. справедливо ли равенство

Начнем с проверки на каком-либо примере (рис. 6 а,б). Убедимся, что действия над век­торами
указанные в правой части формулы (6), приводят к тому же вектору


к которому приводят действия, указанные в левой части равенства (6).

Посоветуем выполнить проверку справед­ливости формулы (6) и для других каких-либо

векторов

Проверка справедливости сочетательного свойства сложения векторов даже на большом числе примеров не создает, конечно, полной

уверенности в справедливости этого свойства. Необходимо поэтому дать строгое доказатель­ство. Используем для этого одну простую гео­метрическую теорему: если А', В', С', D'— середины сторон АВ, ВС, CD, DA произвольного четырехугольника (даже и не выпуклого), то се­редина отрезка А'С' совпадет с серединой отрезки B'D' (т. е. четырехугольник A'B'C'D' есть параллелограмм).

Доказательство этой теоремы читатель легко проведет, если воспользуется известной теоремой о средней линии треугольника. Следует только терпеливо рассмотреть различные возможные случаи расположения исходных четырех про­извольных точек А, В, С, D; два из них показа­ны на рис, 7 а и 7 б.

Обратимся теперь к доказательству форму­лы (6). Возьмем три вектора РА, РВ, PC (рис. 8 а), построим точки A', В', С', симметрич­ные точке Р относительно точек А, В, С соот­ветственно, и обозначим буквами М и N середины сторон А'В' и В'С' четырехугольника РА'В'С'.

Примем теперь во внимание, что середина отрезка АВ совпадает с серединой отрезка РМ; это справедливо в силу упомянутой выше вспомогательной теоремы, если применить ее к треугольнику РА'В' (второй частный случай; он показан на рис. 7 б). Поэтому, со­гласно правилу середины,

Пусть R — середина отрезка МС, a R'— точка, симметричная точке Р относительно точки R. Тогда

где S' — точка, симметричная точке Р относи­тельно середины S отрезка AN.

Примем, наконец, во внимание, что точки R и S совпадают — это справедливо в силу указанной выше вспомогательной

теоремы, если применить ее к четырехугольнику РА'В'С'; отсюда PR' совпадает с PS', и, следовательно,