.
Меню сайта
|
Теоремы сложения и умножения вероятностейТеоремы сложения и умножения вероятностейПрежде всего рассмотрим две важные формулы, которые лежат в основе действий с вероятностями. Эти формулы носят название теорем сложения и умножения вероятностей. Пусть два события А и В таковы, что при каждом испытании может появиться только одно из них или же ни одного, а вместе появиться они не могут. Такие события называются несовместными. Теорема сложения утверждает, что если А и В несовместны, то
Представим теперь себе, что события А и В таковы, что наступление одного из них не изменяет вероятности наступления другого. Такие события называются независимыми. Для независимых событий имеет место теорема умножения, состоящая в следующем:
Рассмотрим для иллюстрации следующую задачу, с которой в настоящее время приходится часто встречаться при организации производства. Ремонтный рабочий обслуживает 6 механизмов, каждый из которых независимо от других может выйти из нормального рабочего режима и потребовать к себе внимания. Вероятность выхода каждого из механизмов за период длительности Т равна р. Чему равна вероятность того, что за период длительности Т из рабочего режима выйдет не более чем 2 механизма? Вероятность того, что данный механизм за весь период работы не выйдет из нормального рабочего состояния, равна 1 — р. По теореме умножения вероятность того, что все шесть механизмов проработают благополучно, равна (1-р)6 Вероятность того, что определенный механизм выйдет из нормального состояния работы, а остальные пять будут работать хорошо, равна по теореме умножения р(1-р)5. Механизмом, потребовавшим внимания, может оказаться любой из 6, поэтому вероятность того, что из строя выйдет только один механизм (безразлично какой), равна по теореме сложения 6p(1-p)5. Вычислим еще вероятность того, что какие-то два механизма выйдут из рабочего состояния, а остальные четыре будут работать нормально. С этой целью заметим, что по теореме умножения вероятность выхода из строя двух определенных механизмов и нормальной работы остальных четырех равна р2(1-р)4. Но два механизма из шести можно выбрать C26= 15 различными способами. Для каждого из них вероятность уже вычислена. В результате по теореме сложения искомая вероятность равна 15р2(1-р)4. Так как интересующее нас событие (выход из нормального рабочего состояния не более чем двух механизмов) может осуществиться следующими несовместимыми способами: все механизмы будут работать безотказно, откажет лишь один механизм, откажут в точности два механизма, то его вероятность по теореме сложения равна: (1-р)6+6р(1-р)5+15р2(1-р)4. Если, для примера, вероятность выхода механизма из нормального рабочего состояния равна 0,2, то вероятность того, что за указанный срок: все механизмы будут работать нормально, равна 0,262144; только один механизм выйдет из строя, равна 0,393216; только два механизма выйдут из строя, равна 0,245760. Таким образом, при указанных условиях работы искомая вероятность равна 0,90112.
|
ПОИСК
Block title
|