Зарождение науки о случае

Зарождение науки о случае

Как и все науки, наука о случае начала раз­виваться тогда, когда в этом появилась потреб­ность, когда задачи практики уже не могли обходиться выводами, сделанными на глаз, а понадобился точный расчет. Первые шаги в создании теории вероятностей — математи­ческой науки о случайных явлениях — были сделаны в середине XVII в., в эпоху зарождения новой математики. Почти одновременно были заложены основы аналитической геометрии и появились ростки, давшие вскоре элементы дифференциального и интегрального исчисле­ний — основы всей современной математики. Этот бурный расцвет математики закономерен. Он был вызван крупными сдвигами в обществен­ных отношениях: развитием торговли, промыш­ленного производства, мореплавания.

Первые понятия теории вероятностей фор­мировались под влиянием потребностей стра­хования и азартных игр. Страхование в ту пору получило широкое распространение из-за не­прерывного роста морских сообщений и морской торговли. Азартные игры захватили феодаль­ную верхушку общества. Множество дворян искали в играх способ поправить свои дела. Наряду с большинством бездумных игроков ока­зались и такие, которые стремились подметить в случайных ситуациях некоторые закономер­ности. Один из страстных игроков, кавалер де Мере, обратился с рядом возникших у него задач к крупнейшему математику и мыслителю того времени Б. Паскалю. Вот одна из них. При четырехкратном бросании игральной кости что происходит чаще: выпадет шестерка хотя бы раз или же шестерка не появится ни разу?

Посмотрим, как решается эта задача. При бросании одной игральной кости может выпасть одна из 6 граней. В 5 случаях из 6 выпадает грань без шестерки. Если же мы бросим игральную кость один за другим 4 раза, то возможных сочетаний выпавших граней будет значительно больше. Действительно, при дву­кратном бросании кости число различных соче­таний выпадения граней при первом и втором бросаниях уже будет 36=6² (они записаны в таблице 1).

Т А Б Л И Ц А 1

При бросании кости трижды будет уже 6³ различных сочетаний, а при четырехкрат­ном бросании может представиться 6⁴ =1296 различных возможностей. При скольких же возможных исходах ни разу не появится ше­стерка? Из нашей таблички видно, что из 36 возможностей при двукратном бросании кости

в 25 случаях (5²) шестерка не появится ни разу. При четырехкратном бросании игральной кости шестерка ни разу не появится в 5⁴=625 слу­чаях. Отсюда вытекает, что хотя бы раз при 4 бросаниях шестерка появится в 1296-625=671 случае. Таким образом, при четырех­кратном бросании игральной кости хотя бы раз шестерка появляется несколько чаще, чем ни разу. Это открытие, согласно воспоминаниям современников, не без успеха было использо­вано кавалером де Мере.

Возникновение основных понятий теории вероятностей и правил действия с ними связано с именами математиков XVII в.— Б. Паскаля, П. Ферма, X. Гюйгенса и Я. Бернулли.

Те задачи, которые возникали на заре тео­рии вероятностей, сводились примерно к таким ситуациям: при каждом испытании может по­явиться одно из n одинаково возможных собы­тий. Интересующее нас событие А появляется тогда, и только тогда, когда происходят опре­деленные т из них. Пример: при бросании четырех костей возможны 1296 различных состояний; из них 625 таковы, что при каждом из них ни разу не выпадает шестерка.

Число случаев, при которых наступает инте­ресующее нас событие А, дает нам средство оценки того, как часто оно может наступить при реальных испытаниях. Однако такой спо­соб оценки неудобен, и в науку было введено следующее понятие: вероятностью события А называется отношение числа случаев, при ко­торых событие А наступает, к числу всех воз­можных случаев. Вероятность события А мы обозначим символом

  Таким образом, по определению

 В нашем примере вероятность того, что при 4 бросаниях ни разу не выпадет шестерка, равна:



Вероятность же того, что шестерка выпадет 671 хотя бы один раз, равна



 

Рассмотрим теперь еще одну задачу, отно­сящуюся ко времени возникновения теории вероятностей. (Рассказывают, что с этой зада­чей обратился к X. Гюйгенсу один из ландс­кнехтов — наемных солдат.) При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще — 11 или 12? Ландскнехт заметил, что и та и другая сумма может осуществиться шестью различными способами, а именно:

11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4,

12 =1+5+6=2+5+5=2+4+6=3+3+6=3+4+5=4+4+4.

Словами: сумма 11 может появиться только тогда, когда или на одной из костей появляется 1, на другой 4 и на третьей 6, или и т. д. Точно так же 12 может появиться только тогда, когда или на одной кости появится 1, на другой 5, на третьей 6, или и т. д.

Казалось бы, 11 и 12 должны появляться одинаково часто, предполагал ландскнехт, однако его долголетний опыт учит другому: 11 появляется несколько чаще, чем 12. В чем же здесь причина?

Мы уже знаем, что всех различных исходов при бросании трех игральных костей будет 216. Теперь задача состоит в том, чтобы под­считать число всех одинаково возможных исхо­дов, при которых в сумме появляется 11 и 12. Мы увидим при этом, что одинаковое число разложений 11 и 12 на сумму трех слагаемых еще не является достаточным основанием для заключения равенства вероятностей этих со­бытий. Все дело в том, что не все эти суммы одинаково часто встречаются. Так, все суммы, 3 которых все три слагаемых различны при под­счете числа возможных исходов, должны быть взяты с большим весом, чем остальные. Дей­ствительно, разложение 11 на сумму слагаемых 1+4+6 может произойти шестью различными способами: (1, 4, 6), (1, 6, 4), (4, 1,6), (4, 6, 1), (6, 1, 4), (6, 4, 1). Мы мысленно нумеруем кости и на первом месте указываем число очков, вы­павших на первой кости, на втором — на вто­рой кости и на третьем — на третьей.

Точно так же суммы, в которых два сла­гаемых одинаковы, например 1+5+5, могут осуществиться лишь тремя различными спо­собами: (1, 5, 5), (5, 1, 5), (5, 5, 1). И, наконец, сумма 4 + 4 + 4 осуществляется одним-единственным способом: (4, 4, 4).

Если теперь учтем только что сказанное, то окажется, что число случаев, при которых в сумме появляется 11, равно: 6+6+6+3+3+3=27, а при которых появляется 12, равно: 6+6+6+3+3+1=25. Таким образом, получаем, что: