Циркуль и линейка

Циркуль и линейка

На развитие теории уравнений сильное вли­яние оказали задачи о построениях циркулем и линейкой, в особенности задачи о построении правильных многоугольников. Из школьного курса известно, как строить циркулем и ли­нейкой правильный треугольник, квадрат и шестиугольник. В более подробных курсах рассказано о построении правильного пяти­угольника. А вот о построении правильного семиугольника или девятиугольника ничего не говорится. И это не случайно: ни правиль­ный семиугольник, ни правильный девятиугольник нельзя построить циркулем и линейкой.

Как же это узнали? Ведь доказать разре­шимость задачи сравнительно легко — доста­точно указать путь ее решения. Доказать же, что задачу нельзя решить, очень трудно. Путей решения задачи бесконечно много (мало ли какие построения можно придумать!), и дока­зать, что ни один из них не приведет к цели, на первый взгляд невозможно.

Однако математики справились с этой за­дачей. Для этого они сначала исследовали во­прос, какие отрезки можно построить цир­кулем и линейкой исходя из одного заданного отрезка (в случае построения правильного многоугольника заданным является радиус описанной окружности или сторона искомого правильного многоугольника).

Чтобы ответить на этот вопрос, пришлось ввести понятие квадратичной ирра­циональности. Так назвали числа, которые получаются из единицы с помощью четырех арифметических действий и операции извлечения квадратного корня. Вот для при­мера некоторые числа, являющиеся квадратич­ными иррациональностями:

Было доказано, что если задан отрезок а, длина которого принимается за единицу, то циркулем и линейкой можно построить любые отрезки, длины которых являются квадратич­ными иррациональностями, и только эти от­резки.

Например, для построения правильного пя­тиугольника с данной стороной достаточно по­строить его диагональ (тогда все вершины можно будет найти с помощью засечек окружности). Расчеты показывают, что если сторона пяти­угольника равна 1, то его диагональ имеет длину

Так как это число является квадра­тичной иррациональностью, то построение пра­вильного пятиугольника с помощью циркуля и линейки возможно.
А вот правильный девятиугольник постро­ить нельзя. Его построение сводится к делению угла в 120° на три равные части. По формулам тригонометрии:



то для отыскания cosφ получим кубическое уравнение:


или, полагая 2cosφ=x, получим уравнение:


Было доказано, что если один из корней кубического уравнения с целыми коэффици­ентами является квадратичной иррациональ­ностью, то у него есть и рациональный корень. А легко доказать, что у уравнения (3) раци­ональных корней нет, значит, нет и корней, являющихся квадратичными иррациональностями. Поэтому и нельзя построить правиль­ный девятиугольник циркулем и линейкой. (Поскольку угол в 120° нельзя разделить цир­кулем и линейкой на три равные части, тем более нельзя указать метод деления циркулем и линейкой на три равные части для произ­вольного угла. Для некоторых углов, например 90°, эта задача разрешима.) Точно так же дока­зывается невозможность построения циркулем и линейкой правильного семиугольника.

Окончательное решение вопроса о постро­ении правильных многоугольников циркулем и линейкой дал в 1796 г. Гаусс. Он доказал, что если р — простое число, то правильный р-угольник с данной стороной может быть построен циркулем и линейкой в том, и только в том, случае, когда число р можно записать в виде р=2²ⁿ +1, где n — целое число. Напри­мер, при n=0 имеем р=3, а при n=1 име­ем р=5. Поэтому правильный треугольник и правильный пятиугольник можно построить циркулем и линейкой. При n=2 получаем р=17. Значит, и правильный семнадцатиугольник строится циркулем и линейкой. Мож­но построить циркулем и линейкой даже правильные многоугольники с 257 и 65536 сторонами. А вот при n=5 число 2²ⁿ+1 оказывается составным. Поэтому правильный

 -угольник нельзя построить циркулем и линейкой.

В древности математики потратили много сил на решение следующей задачи об удвое­нии куба: дан куб со стороной а; построить такой куб, объем которого вдвое больше объема данного куба. Подсчитаем, какой отрезок надо построить для решения этой задачи. Примем длину отрезка а за единицу, а длину ребра иско­мого куба обозначим через х. Тогда объем дан­ного куба будет равен единице, а объем иско­мого куба — двум. По условию задачи должно быть: х³=2. Это уравнение не имеет рациональ­ных корней. Поэтому по упомянутой выше теореме у него нет и корней, являющихся квад­ратичными иррациональностями. Значит, ре­шить задачу удвоения куба циркулем и ли­нейкой невозможно.

Гораздо труднее было доказать, что невоз­можно построить циркулем и линейкой квадрат, равновеликий кругу радиуса 1 (задача о квадратуре круга). Это доказа­тельство было проведено неалгебраи­ческими методами. Было доказано, что сторона такого квадрата не только не являетсяквадратичной иррациональностью, но даже не может быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами (такие числа называют неалгебраическими или тран­сцендентными).

• РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

• Разложение чисел на множители     
• Удивительное разложение  
• Разложение многочленов на множители
• Разложение многочленов на множители и решение уравнений 
• Основная теорема алгебры многочленов 
• Решение уравнений в радикалах. Н.Г. Абель 
• Циркуль и линейка