.
Меню сайта
|
Разложение многочленов на множители и решение уравненийРазложение многочленов на множители и решение уравненийЗачем же надо разлагать многочлены на множители? Одна причина ясна — для выполнения действий с алгебраическими дробями, Но есть и другая причина — разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение: х5+2х4-х-2=0. Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены в левой части, то получим: (х+2) (х4-1)=0. или: (x+2)(x-1)(x+1)(x2+1)=0. А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при x1=-2, х2=1, х3 =-1. Значит, эти числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь множитель равен нулю, а множитель х2+1 при действительных х в нуль не обращается. Вообще, если левая часть алгебраического уравнения f(x)=0 может быть записана в виде (х-а)р(х)=0, где р(х) — тоже многочлен, то х=а является одним из корней нашего уравнения. Верно и обратное: если число а является корнем алгебраического уравнения f(x)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на х-а. При этом если коэффициенты многочлена f(x) и корень а принадлежат полю Р, то тому же полю принадлежат и коэффициенты многочлена р(х), ведь при делении многочленов «столбиком» мы выполняем над их коэффициентами лишь четыре арифметических действия. Особенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители первой степени: (х-а1)(х-a2) ... (x-an)=0. В этом случае ясно, что корнями будут числа a1, a2,..., an, а других корней не будет (так как если х отлично от всех чисел a1, a2,..., an, то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается). Верно и обратное: если мы знаем n корней a1, а2,...,аn многочлена f(х)=а0хn+а1хn-1+ ...+аn, то он следующим образом разлагается на множители: f(х)=а0 (х-a1)(х-а2)...(х-аn). Из сказанного ясно, что никакое уравнение n-й степени не может иметь больше, чем n корней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень? Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит «любое уравнение», какими должны быть его коэффициенты. Неясно и то, какие корни мы будем рассматривать.
|
ПОИСК
Block title
|