Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Разложение многочленов на множители и решение уравнений

Зачем же надо разлагать многочлены на мно­жители? Одна причина ясна — для выполнения действий с алгебраическими дробями, Но есть и другая причина — разложение на множители облегчает решение уравнений. Пусть нам дано уравнение:

х⁵+2х⁴-х-2=0.

Решать уравнения пятой степени мы не умеем. Но если сгруппировать члены в левой части, то получим:

(х+2) (х⁴-1)=0. или:

(x+2)(x-1)(x+1)(x²+1)=0.

А теперь видно, что левая часть обращается в нуль при x₁=-2, х₂=1, х₃ =-1. Значит, эти числа являются корнями нашего уравнения. Других действительных корней у него нет, так как произведение может равняться нулю, лишь если какой-нибудь множитель равен нулю, а множитель х²+1 при действительных х в нуль не обращается.

Вообще, если левая часть алгебраического уравнения f(x)=0 может быть записана в виде (х-а)р(х)=0, где р(х) — тоже многочлен, то х=а является одним из корней нашего урав­нения. Верно и обратное: если число а являет­ся корнем алгебраического уравнения f(x)=0, то многочлен f(x) делится без остатка на х-а. При этом если коэффициенты многочлена f(x) и корень а принадлежат полю Р, то тому же полю принадлежат и коэффициенты многочлена р(х), ведь при делении многочленов «стол­биком» мы выполняем над их коэффициентами лишь четыре арифметических действия. Осо­бенно легко решать уравнения, левая часть которых разложена на множители первой сте­пени:

(х-а₁)(х-a₂) ... (x-a_n)=0.

В этом случае ясно, что корнями будут числа a₁, a₂,..., a_n, а других корней не будет (так как если х отлично от всех чисел a₁, a₂,..., a_n, то ни один из множителей первой степени в нуль не обращается). Верно и обратное: если мы знаем n корней a₁, а₂,...,а_n многочлена

f(х)=а₀хⁿ+а₁х^n-1+ ...+а_n,

то он следующим образом разлагается на мно­жители:

f(х)=а₀ (х-a₁)(х-а₂)...(х-а_n).

Из сказанного ясно, что никакое уравнение n-й степени не может иметь больше, чем n кор­ней. А имеет ли любое уравнение хотя бы один корень? Впрочем, эта задача опять нечетко поставлена: неясно, что значит «любое урав­нение», какими должны быть его коэффици­енты. Неясно и то, какие корни мы будем рас­сматривать.

• РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

• Разложение чисел на множители     
• Удивительное разложение  
• Разложение многочленов на множители
• Разложение многочленов на множители и решение уравнений 
• Основная теорема алгебры многочленов 
• Решение уравнений в радикалах. Н.Г. Абель 
• Циркуль и линейка