Группы алгебраических преобразований. Теория Галуа

Группы алгебраических преобразований. Теория Галуа

Преобразования можно производить не толь­ко над геометрическими фигурами, но и над ал­гебраическими выражениями. Речь идет здесь, конечно, не о тождественных преобразованиях (раскрытии скобок, приведении подобных чле­нов и т. д.). Нет, мы будем рассматривать

такие преобразования, как изменение знаков переменных, перестановки переменных и т. д. Например, многочлен

х³-y²+3xy⁴

при изменении знаков переменных х и у прев­ращается в многочлен

-x³-у²-3xy⁴,

а при перестановке х и y — в многочлен

у³-х²+3yx⁴.

Изучение преобразований алгебраических выражений представляет собой, с точки зрения эрлангенской программы Ф. Клейна, своеоб­разную геометрию. В этой геометрии «фигу­рами» являются алгебраические выражения (многочлены, дроби и т. д.), а группа преобра­зований состоит в одних случаях из всевоз­можных перестановок переменных, в других — из циклических перестановок переменных (при которых каждое переменное заменяется сле­дующим, а последнее — первым), в третьих — из всевозможных замен знаков переменных (рис. 7) и т. д.

Задачей такой геометрии, как и обычной геометрии, является нахождение таких свойств «фигур» (т. е. алгебраических выражений), которые сохраняются при всех преобразовани­ях данной группы. В частности, весьма инте­ресно нахождение и изучение «симметричных фигур» для данной группы, т. е. алгебраиче­ских выражений, которые не изменяются при преобразованиях данной группы. Например, если рассматривать группу всех перемен зна­ков, то «симметричными фигурами» будут чет­ные выражения, т. е. такие, у которых пока­затели всех степеней переменных четны (например,

и т. д.)

Для группы всех перестановок переменных «симметричными фигурами» будут такие выра­жения, которые не меняются ни при каких перестановках переменных. Они называются симметрическими функциями. На­пример, симметрическими многочленами от двух переменных х, у являются:

В такой геометрии есть и свои теоремы. Например, можно доказать, что любой сим­метрический многочлен от х и у выражается через два простейших многочлена х+у и ху. Например:

 Эту теорему можно применять при решении систем уравнений. Если оба уравнения системы двух уравнений с двумя неизвестными симмет­ричны относительно х и y, то бывает полезно ввести новые неизвестные: u=х+у, v=ху. Как правило, после этого заданная система уравнений упрощается. Например, система уравнений



при такой замене сводится к системе



Из этой системы легко найти u и v, а по­том x и y. Любопытно, что теория групп первоначаль­но и возникла при рассмотрении групп алгеб­раических преобразований Чтобы узнать, ре­шается ли данное алгебраическое уравнение

 в радикалах, алгебраисты стали рассматривать значения, которые принимают многочлены от n переменных, если в них вместо x_1; x₂, ..., х_n подставить корни α₁, α₂, ..., α_n уравнения (4). Оказалось, что вопрос о разрешимости уравнений в радикалах тесно связан с по­ведением этих значений многочленов при различных перестановках корней между собой.

Эти исследования привели к созданию новой, очень глубокой и важной ветви алгеб­ры — применению теории групп к исследова­нию уравнений. Основоположные результаты этой теории были получены в 1830—1832 гг. французским математиком Э. Галуа. В его честь весь этот раздел алгебры носит сейчас назва­ние теории Галуа.

• ГРУППЫ    

• Умножение геометрических преобразований  
• Что такое равные фигуры
• Группы геометрических преобразований     
• Разные геометрии  
• Группы симметрии  
• Задача о раскраске куба 
• Симметрия в природе  
• Группы алгебраических преобразований. Теория Галуа     
• Абстрактная теория групп. Отто Юльевич Шмидт  
• Заключение