.
Меню сайта
|
Возникновение математики как науки. Построение первых математических теорийВозникновение математики как науки. Построение первых математических теорий (математика древней Греции)VI в. до н. э. — систематическое введение логических доказательств, явившееся переломным моментом в развитии математики. В Пифагорейской научной школе было начато построение геометрии как отвлеченной науки, истины которой выводятся из немногих исходных аксиом с помощью доказательств. К пифагорейцам восходят первые математические теории: планиметрия прямолинейных фигур (включая строгое доказательство знаменитой теоремы Пифагора) и элементы теории чисел (введение понятий простого числа, взаимно простых чисел, исследование теории делимости, построения совершенных чисел). В этой же школе были открыты четыре из пяти правильных тел: куб, тетраэдр, октаэдр и додекаэдр. V в. до н. э.—в Пифагорейской школе сделано величайшее открытие о несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали. Оно показало, что рациональных чисел (т. е. целых чисел и дробей) недостаточно для измерения геометрических величин и обоснования учения о подобии. Благодаря этому открытию возникла необходимость создания теории отношений как соизмеримых, так и несоизмеримых геометрических величин. V в. до н. э. (вторая половина) — создана так называемая геометрическая алгебра, которая давала возможность в общем виде решать задачи, сводящиеся к квадратному уравнению или последовательности таких уравнений, чисто геометрически, с помощью циркуля и линейки. Геометрическая алгебра играла в античной математике роль нашей буквенной алгебры, но аппарат ее был гораздо менее удобен. В это же время были сформулированы три знаменитые задачи древности: 1) удвоение куба (построить куб, имеющий объем в два раза больший данного), 2) трисекция угла (разделить произвольный угол на три равные части) и 3) квадратура круга (построить квадрат, равновеликий данному кругу). Все эти построения, как было доказано в XIX в., невозможны с помощью циркуля и линейки. Древние использовали для их решения новые кривые: конические сечения (эллипс, гиперболу и параболу) и квадратрису (первую трансцендентную кривую). В поисках квадратуры круга Гиппократ Хиосский открыл квадрируемые луночки (получившие название гиппократовых), т. е. фигуры, ограниченные дугами окружностей, для которых можно построить равновеликие им квадраты. В конце V в. Гиппократ составил первые «Начала» — систематическое изложение основ математики своего времени. Труд этот до нас не дошел. IV в. до н. э. (первая половина) — афинский математик Теэтет предпринял исследование алгебраических иррациональностей и начал классификацию их. Он определил простейшие классы квадратичных иррациональностей, такие, как
которые были впоследствии описаны в «Началах» Евклида. Он показал также, что
иррационален, если а не является кубом. IV в. до н. э. (середина) — великий математик и астроном древности Евдокс из Книда создает общую теорию отношений для любых однородных величин (как соизмеримых, так и несоизмеримых). Эта теория совпадает по существу с теорией действительных чисел, предложенной в конце XIX в. Р. Дедекиндом. Для определения площадей и объемов Евдокс разработал так называемый метод исчерпывания. В основе обеих теорий лежало общее учение о величинах. Величины определялись аксиоматически, причем впервые была сформулирована важнейшая аксиома, известная ныне под названием аксиомы Архимеда: если а>b, то можно повторить b столько раз, что nb>а. С помощью новых методов Евдокс впервые доказал, что конус равновелик 1/3 цилиндра, имеющего одинаковые с ним основания и высоту, а пирамида равновелика 1/3 соответствующей призмы. Он доказал также, что площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров. 300 г. до н. э.—Евклид создает свои «Начала», в которых подводит итог всему предшествующему развитию античной математики. Метод изложения «Начал» получил название дедуктивного и стал образцом для построения математической теории. В «Началах» не только впервые систематически излагалась геометрия, но и элементы теории чисел, алгебры, теория отношений и метод исчерпывания. Здесь формулировался алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел, доказывалось, что произведение двух простых чисел pq не может делиться ни на какое третье простое число, а также устанавливалось, что простых чисел бесконечно много. В «Началах» впервые встречается строгий вывод формулы суммы конечного числа членов геометрической прогрессии и показывается, что существует только пять правильных тел: куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр — и никаких других правильных тел нет. III в. до н. э. — Архимед разрабатывает методы нахождения площадей и объемов, а также методы определения касательных и наибольших и наименьших значений величин, которые он применил для решения проблем статики, гидростатики и теории равновесия плавающих тел (см. стр. 472—474). Методы Архимеда легли в основу дифференциального и интегрального исчисления, созданного в XVII в. III—II вв. до н. э. — Аполлоний систематически и всесторонне исследует конические сечения, развивая методы как аналитической, так и проективной геометрии. Его книги о конических сечениях послужили основой для создания аналитической геометрии Р. Декартом и П. Ферма (XVII в.), проективной геометрии Б. Паскалем и Ж. Дезаргом (XVII в.), а также явились математическим аппаратом при исследованиях по механике и астрономии И. Кеплера, Г. Галилея и И. Ньютона. I—II вв. н. э. — широкое развитие вычислительно-алгебраических методов в античной математике. I в. (конец) — Менелай создает систематический курс сферической геометрии, построенный по образцу «Начал» Евклида, и развивает сферическую тригонометрию. Во II в. Птолемей в своих астрономических трудах излагает плоскую и сферическую тригонометрию; он выводит формулу, равносильную sin (α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ, и составляет подробные таблицы хорд (вместо линии синуса древние рассматривали всю хорду). В таблицах Птолемей употреблял символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда. Возможно, что этот символ и явился прообразом нуля. III в. н. э. — Диофант Александрийский, последний великий математик древности, пишет «Арифметику», в которой формулирует общие правила алгебры: правило переноса членов из одной части уравнения в другую и правило приведения подобных членов, а также правило умножения многочлена на многочлен, причем отмечает, что «вычитаемое на вычитаемое дает слагаемое». В этой книге впервые в истории науки вводится алгебраическая символика для обозначения неизвестного и первых его положительных и отрицательных степеней вплоть до шестой, а также для равенства и вычитания. Диофант развивает учение о решении неопределенных уравнений с целыми коэффициентами в целых или рациональных числах. Эти уравнения получили в современной математике название диофантовых. Летопись знаменательных дат развития математикиМатематика стран Дальнего, Среднего и Ближнего Востока Математика европейского средневековья и эпохи Возрождения |
ПОИСК
Block title
|