|
Меню сайта
Статистика
|
Три „средних"Три „средних"Пусть а и b — произвольные положительные числа. Тогда
— среднее арифметическое чисел а и b,
— среднее геометрическое чисел а и b,
— среднее гармоническое чисел а и b. Убедитесь сами, что: а) Среднее гармоническое равно отношению квадрата среднего геометрического к среднему арифметическому. б) Если написать подряд:
то образуются три члена арифметической прогрессии. в) Если написать подряд:
то образуются три члена геометрической прогрессии. г) Если взять числа, обратные а и b, составить их среднее арифметическое, а потом снова перейти к обратному числу, то получится среднее гармоническое чисел a и b. д) Среднее арифметическое а и b не меньше среднего геометрического тех же чисел, а последнее не меньше их среднего гармонического:
Докажите, что равенство здесь возможно только при а=b. е) Если написать подряд:
и буквам а, b придать значения
где k — любое целое положительное число, то среднее гармоническое чисел а и b, т. е.
примет значение
равное среднему члену последовательности :
Последовательность такого вида называется гармонической. Следом за тремя членами этой последовательности можно образовать четвертый член:
затем пятый:
 и т. д. Соединяя члены последовательности знаком «+» и полагая k=1, получим числовой ряд:
который называется гармоническим. Еще Лейбниц доказал, что сумма
бесконечно возрастает, когда n неограниченно растет. Это означает, что, гармонический ряд расходится. Но если перед членами ряда чередовать знаки ±, то получится сходящийся ряд
|
ПОИСК
Block title
|
