Фундамент алгебры

Фундамент алгебры

Из всех сделанных высказываний школь­нику Васе Игнатьеву, который был корреспон­дентом школьной стенгазеты и присутствовал на конференции, самым правильным показа­лось мнение алгебраиста XVII в., что алгебра — искусство буквенных вычислений. Вася учился тогда в седьмом классе и на уроках алгебры много занимался буквенными вычислениями. Тут были и формулы сокращенного умножения, и коэффициенты, и показатели степени, и многое другое — от букв в глазах рябило. Он часто думал: «Хорошо было бы иметь ответы ко всем примерам из Ларичева!» Но вскоре по­нял, что это не поможет,— учитель для кон­трольных работ брал примеры из какого-то другого задачника. А запомнить решения всех задач из всех задачников на свете — это, по­жалуй, никому не под силу, разве что фокус­никам из цирка, выступающим с сеансами фе­номенальной памяти.

Делать нечего, приходилось заучивать пра­вила: что происходит с коэффициентами и по­казателями при умножении одночленов, как возводить сумму и разность в квадрат и многое другое.

Вася был мальчик любознательный и за­хотел узнать, откуда же эти правила берутся. Внимательно читая учебник, он понял, что все правила, по которым выполняются действия с многочленами, вытекают из небольшого числа основных правил. Эти первоначальные пра­вила таковы:

a+0=a;

a+(-a)=0;

a+b=b+a                   (коммутативность сложения);

(a+b)+c=a+(b+c)    (ассоциативность сложения);

a•1=a

ab=ba                            (коммутативность  умножения)    (1)

a(bc)=(ab)c               (ассоциативность умножения)   

a(b+c)=ab+ac           (дистрибутивность) .

Из этих правил можно вывести все осталь­ные. Покажем, как выводится формула

(а+b)²=а²+2аb+b², (2)

обсуждавшаяся на необычной конференции. По закону дистрибутивности имеем:

(а+b)²=(а+b)(а+b)=(а+b)а+(а+b)b.

Используя коммутативность умножения, по­лучаем:

(а+b)²= а(а+b)+b(а+b).

Вторично применяя дистрибутивность, а так­же коммутативность умножения и ассоциатив­ность сложения, находим: (a+b)²=(а²+аb)+(bа+b²)=(а²+ab)+(аb+b²)=а²+(аb+ab)+b². Здесь

аb+аb=аb•1+ab•1=аb(1+1)=аb•2=2аb, и потому

(а+b)²=а²+2аb+b². Попробуйте таким же способом проследить вывод формулы:

(а+b)³=а³+3а²b+3аb²+b³. Вы увидите, что при этом придется использо­вать и закон ассоциативности умножения.

Итак, правила алгебры выводятся из на­писанных нами первоначальных правил. Таким образом, искусство буквенных вычислений сводится к применению этих основных пра­вил. При этом некоторые следствия из этих правил (например, формула квадрата суммы) применяются настолько часто, что их надо так же хорошо запомнить и применять, как и первоначальные правила.

Не правда ли, это очень напоминает поло­жение дел в геометрии — там тоже есть не­сколько аксиом (т. е. первоначальных положе­ний), из которых выводятся различные след­ствия, называемые теоремами. А при решении задач приходится применять и ак­сиомы, и теоремы. Поэтому мы будем, как и в геометрии, формулы (1) называть аксиомами, а формулы вида (2) — теоремами.

Как и аксиомы геометрии, аксиомы алгебры не доказываются. Они являются обобщением многотысячелетнего опыта практической дея­тельности человечества. Прежде чем сформу­лировать положение: a+b=b+а, надо было много тысяч раз подметить такие арифмети­ческие соотношения, как: 2 + 5 = 5 + 2, 4 + 6 = 6 + 4 и т. д.

Все остальные аксиомы (1) имеют такое же происхождение: они являются буквенной за­писью многократно проверявшихся законов арифметики.

• ЧЕМ ЗАНИМАЕТСЯ АЛГЕБРА

• ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ
• Необычная конференция
• Фундамент алгебры 
• Сила букв 
• Кольца 
• Поля