Свойства совершенных чисел

Свойства совершенных чисел

«Совершенство» совершенных чисел не исчерпывается совпадением числа и суммы его делителей (см. Совершенные числа). Любители и профессио­налы-математики со временем обнару­жили еще несколько любопытных осо­бенностей таких чисел, например:

а) каждое из известных совершен­ных чисел может быть представлено:

1) в виде произведения 2 ^p-1(2р-1), где p—простое число:

V₁=6=2(2²-1);

V₂=28=2²(2³-1);

V₃=496= 2⁴(2⁵-1);

V₄=8128=26(2⁷-1);

V₅=33550336=2¹²(2¹³-1);

2) в виде суммы последовательных степеней числа 2 от 2^p-1 до 2²(p-1):

V₁=6=2+2²;

V₂=28=2²+2³+2⁴;

V₃=496=2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸;

V₄=8128=2⁶+2⁷+...+2¹¹+2¹²;

V₅=33550336=2¹²+2¹³ +. . .+2²⁴

и т. д.;

б) каждое из известных совер­шенных чисел, начиная с V₂, разла­гается на сумму кубов последователь­ных нечетных чисел:

V₂=28=1³+3³; V₃=496=1³+3³+5³+7³;

V₄=8128 =1³+3³+5³+7³+9³+11³+13³+15³;

V₅=33550336= 1³+3³+. . . + 127³ и т. д.;

в) складывая цифры каждого из известных совершенных чисел, начи­ная с V₂, и повторяя этот процесс для получающегося результата неко­торое количество раз, всегда в конце концов получим число 1:

V₂=28; 2+8=10; 1+0=1; V₃=496; 4+9+6=19;

1+9=10; 1+0=1; V₄ = 8128; 8+1+2+8=19;

1 + 9 = 10; 1+0=1; V₅ = 33550336; сумма цифр=28; 2+8=10; 1+0=1 и т. д.; г) если за основание системы чисел принять не 10, а 2, как это теперь иногда приходится делать для использования электронных вычисли­тельных машин, то совершенные числа принимают такой вид:

по основанию 10 V₁=6=2(2²-1); V₂=28=2²(2³-1); V₃ =496=2⁴(2⁵-1); V₄=8128= 2⁶(2⁷-1);

по основанию 2 V₁=110; V₂=11 100; V₃=111 110 000; V₄= 1 111 111 000 000 и т. д.

Как видим, в системе с основа­нием 2 число единичек совпадает с числом р в десятичной записи совер­шенного числа

а число нулей равно p-1. Желающим предлагаем попробо­вать свои силы в решении следующей трудной задачи, связанной с указан­ным выше свойством б).

Доказать, что каждое совершен­ное число вида

начиная с V₂ , разлагается на сумму кубов нечетных чисел, где количество слагаемых равно

• МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
• ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА 
• Множества конечные и бесконечные 
• Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами 
• Множество всех рациональных чисел счетно 
• Множество всех действительных чисел не счетно. Г. Кантор  Фокус геометрии движения
• Мощность множества                                                   Свойства совершенных чисел