Множество всех действительных чисел не счетно. Г. Кантор

Множество всех действительных чисел не счетно. Г. Кантор

И тем не менее несчетные множества суще­ствуют. Оказывается, множество всех дейст­вительных чисел — не счетно. Этот заме­чательный факт, как и теорема о счетности множества всех рациональных чисел, впервые в 1874 г. был доказан знаменитым немецким математиком Г. Кантором, основателем современной теории множеств.

Воспроизводим доказательст­во Кантора. Доказываем, что несчетным являет­ся уже множество всех действительных чисел интервала¹ (0; 1).

Каждое такое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби с целой частью нуль. При этом каждому действительному числу соответствует лишь од­на такая запись, за исключением действительных чисел, выражаемых конечными десятичны­ми дробями: каждое такое число, например 0,2476622021711, может быть записано двумя способами в виде бесконечной десятичной дроби:

0,2476622021711000000000... и

0,2476622021710999999999...

Одна из этих записей начиная с некоторого момента содержит одни лишь нули, а другая— одни девятки. Если мы согласимся не употреблять записей, в которых, начиная с какого-нибудь места, идут одни девятки, то каждое действительное число будет иметь лишь един­ственную запись в виде бесконечной десятич­ной дроби. Докажем теперь теорему о несчет­ности множества действительных чисел от про­тивного: предположим, что множество дей­ствительных чисел [мы говорим все время о чис­лах X интервала (0 ; 1)] счетно, т.е. может быть занумеровано посредством натуральных чисел. Тогда вся совокупность действительных чисел интервала (0 ; 1) может быть записана в виде последовательности: х₁, х₂,... Запишем разложение числа x_n в бесконечную десятичную дробь в виде:

где

  суть последовательные десятичные знаки числа x_n, причем, согласно заключенному нами условию, не может слу­читься, что все десятичные знаки начиная с некоторого суть девятки. Итак, все действительные числа х [интерва­ла (0; 1)] предполагаются записанными в виде:
Табл: I








Приведем наше предположение к противоре­чию, найдя действительное число с, заклю­ченное между 0 и 1 и заведомо не входящее в табл. I. Для этого рассмотрим цифры, стоя­щие по диагонали в табл. I, а именно:


и выберем для каждого n натуральное число b_n, не превосходящее число 8 и отличное от числа a⁽ⁿ⁾_n (например, при а ⁽ⁿ⁾_n<8 полагаем


а при a⁽ⁿ⁾_n=8 полагаем b_n=7). Рассмотрим бесконечную десятичную дробь

0, b₁b₂b₃b₄b₅...b_n....

Она не содержит ни одной девятки и выражает число с, заключенное между 0 и 1, заведомо отличное от всех чисел х₁, x₂, x₃, ..., х_n,... В самом деле, если бы было:

 то на n-м месте в разложении числа с мы должны были бы иметь цифру


тогда как действительно имеем


 

Теорема доказана.

¹ Под интервалом (а; b) числовой прямой понимает­ся множество всех действительных чисел х, удовлет­воряющих неравенству а<х<b.

• МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ
• ПОНЯТИЕ МНОЖЕСТВА 
• Множества конечные и бесконечные 
• Взаимно-однозначное соответствие между двумя множествами 
• Множество всех рациональных чисел счетно 
• Множество всех действительных чисел не счетно. Г. Кантор  Фокус геометрии движения
• Мощность множества                                                   Свойства совершенных чисел