|
Меню сайта
Статистика
|
Множество всех рациональных чисел счетноМножество всех рациональных чисел счетноВ поисках несчетного множества обратимся к множеству всех рациональных чисел (читатель, конечно, помнит, что рациональными называются все целые и все дробные числа). Посмотрим, можно ли занумеровать все рациональные числа с помощью натуральных. Для простоты рассмотрим сначала все положительные рациональные числа и попробуем их как-нибудь занумеровать. Сразу же сталкиваемся с трудностью: среди положительных рациональных чисел заведомо нет наименьшего числа, каким является единица среди натуральных чисел: ведь каково бы ни было положительное рациональное число r, число
также является положительным рациональным числом, и оно меньше, чем r. Предположим, мы обойдем эту трудность, начав счет с какого-нибудь рационального числа r1, которое согласимся считать первым. Но тогда на следующем этапе возникает такая трудность: какое рациональное число считать вторым, т. е. непосредственно следующим в порядке нашего счета за числом r1? Дело в том, что, какое бы рациональное число r2>r1мы ни взяли, имеются рациональные числа большие, чем r1, и меньшие, чем r2, и таких бесконечное множество, например числа:
Таким образом, среди всех рациональных чисел, больших, чем выбранное нами число r1, нет наименьшего. Какое же объявить первым из следующих за r1? Но возникшая трудность — кажущаяся. Она показывает только, что невозможно занумеровать рациональные числа с помощью натуральных чисел таким образом, чтобы при этой нумерации возрастающим номерам соответствовали возрастающие числа. Придется попытаться занумеровать рациональные числа как-нибудь иначе, не стремясь к тому, чтобы число r2, первое после r, в порядке нашего счета, было и первым по величине, т. е. наименьшим из всех следующих за r1. А тогда нужная нам нумерация находится очень легко. В самом деле, каждое положительное рациональное число однозначно записывается в виде несократимой дроби
 (целое число nбудем при этом записывать в виде дроби  и также считать ее несократимой). Назовем высотой дроби  — натуральное число q+р. Под высотой рационального числа будем понимать высоту той единственной несократимой дроби, которая является записью данного рационального числа. Посмотрим, сколько приходится рациональных чисел на каждую данную высоту. Высоту 1 не имеет ни одно положительное рациональное число (потому что, записывая рациональное число в виде несократимой дроби
видим, что ее высота равна натуральному числу р+q, а так как p≥1, q≥1, то р+q≥2). Высоту 2 имеет, очевидно, единственное рациональное число
Высоту 3 имеют дроби 1/2 и 2/1, т. е. рациональные числа 1/2 и 2.
Высоту 4 имеют дроби
Среди них оставляем лишь несократимые
 Итак, высоту 4 имеют рациональные числа 1/3 и 3. Высоту 5 имеют дроби
среди которых нет сократимых, так что на высоту 5 приходится 4 числа. Высоту 6 имеют дроби
 среди которых несократимыми являются лишь первая и последняя; следовательно, высоту 6 имеют числа
 Продолжая рассуждать таким образом дальше, мы прежде всего убеждаемся в том, что, каково бы ни было натуральное число h>1, есть лишь конечное число рациональных чисел с этой высотой. В самом деле, дроби с высотой h — это, очевидно,
Их конечное число: h-1. Среди этих дробей некоторые могут оказаться сократимыми, а остальные дадут рациональные числа с высотой h. Теперь уже очень легко занумеровать все положительные рациональные числа: мы начинаем с наименьшей высоты 2 и идем дальше, все время увеличивая на единицу высоту и сосчитывая то (всегда конечное) число рациональных чисел, которое приходится на данную высоту. Таким образом, число 1=r1получает номер 1. Далее идут два числа:
и r3=2 высоты 3, потом два числа:
и r5=3
высоты 4, потом четыре числа:
Так как каждое рациональное число имеет своей высотой некоторое натуральное число h, оно найдет свое место в строке, соответствующей этой высоте, и получит определенный номер, не больший, чем число n2+n3+...+nh_1+nh.
Итак, множество всех положительных рациональных чисел есть счетное множество. |
ПОИСК
Block title
|
