|
Меню сайта
Статистика
|
ФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ. Жесткость балкиФУНКЦИИ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ. Жесткость балкиОдним из самых важных понятий в математике и ее приложениях является понятие функции. Всюду, где есть величины, связанные так, что с изменением одних (аргументов) меняются другие (функции), мы имеем дело с функциональной зависимостью. Эта зависимость может задаваться по-разному — формулами, графиками, таблицами. Бывают случаи, когда зависимость нельзя выразить формулой. Например, температура воздуха меняется с течением времени, однако формулы, выражающей температуру воздуха в данный момент времени, нет (как легко жилось бы метеорологам, если бы такая формула была!). В некоторых случаях приходится довольствоваться графиком функции (например, самопишущий прибор термограф дает график температуры воздуха как функции времени) или только таблицей значений функции для некоторых значений аргумента. Чаще всего, однако, для описания функций пользуются формулами. В школе изучают случаи, когда эти формулы сравнительно просты. Например, зависимость площади круга от его радиуса выражается формулой S=πr2, тока от сопротивления — формулой
Возникает вопрос: встречаются ли на практике зависимости, выражаемые с помощью более сложных функций, например многочленов высоких степеней, показательной, логарифмической и тригонометрических функций? Мы расскажем здесь о некоторых случаях, когда такие функции встречаются в задачах физики и техники. Жесткость балки Балками в технике называют деревянные или металлические брусья, на которых лежат перекрытия зданий. Балки должны выдерживать вес перекрытий и предметов, находящихся в здании. Под этой тяжестью они изгибаются. Если балки изогнутся слишком сильно, перекрытие может рухнуть. Поэтому до постройки здания надо рассчитать, выдержат ли балки нагрузку. Этими расчетами занимается специальная наука — сопротивление материалов. Прогиб балки зависит от очень многих причин. Под одной и той же нагрузкой деревянная балка изогнется сильнее, чем стальная, длинная — сильнее, чем короткая, тонкая — сильнее, чем толстая. Зависимость прогиба балки от материала, из которого она сделана, связана с особой величиной Е, называемой модулем Юнга. Модуль Юнга измеряется в кГ/см2. Если из вещества с модулем Юнга Е кГ/см2 сделать стержень длиной 1 м и сечением 1 см2 и подвесить к этому стержню гирю в 1 кГ, то он вытянется на
Для стали модуль Юнга равен 2 150 000 кГ/см2 а для дуба — 105 000 кГ/см2, т. е. в 20 раз меньше. Чем больше модуль Юнга, тем меньше прогиб балки. Поэтому стальные балки прогибаются меньше, чем деревянные. Исследование зависимости прогиба балки от материала, из которого она сделана, — это скорее дело физики, чем математики. Математиков больше интересует зависимость прогиба от длины балки и от размеров и формы ее сечения. А то, что форма сечения влияет на прогиб, легко видеть из простого опыта. Обычную школьную линейку легко согнуть, если положить ее плашмя, и трудно, если поставить на ребро (рис. 1).
 а для квадратного сечения со стороной а равен  Произведение EI модуля Юнга на момент инерции сечения балки называют жесткостью балки. Чем больше жесткость, тем труднее изогнуть балку. Можно увеличить жесткость балки, не меняя площади ее сечения. Для этого надо сосредоточить основную массу балки на большом расстоянии от среднего слоя, например придать сечению форму, изображенную на рис. 2, слева (двутавровые балки), или заменить сплошную балку трубой (рис. 2, справа). Поэтому, например, в велосипедах делают корпус не из сплошных стержней, а из труб.
|
ПОИСК
Block title
|
Этот опыт показывает еще, что прогиб зависит не от площади сечения (ведь площадь сечения линейки одна и та же, лежит она плашмя или поставлена на ребро). Оказывается, дело не в площади сечения, а в его моменте инерции. Момент инерции I подсчитывают так. Сечение балки мысленно разрезают на очень тонкие горизонтальные слои и площадь каждого слоя умножают на квадрат расстояния этого слоя от среднего слоя. Сумма этих произведений и дает момент инерции сечения балки. Подсчеты показывают, что момент инерции для круглого сечения радиуса R равен
