Нужны ли другие геометрии

Нужны ли другие геометрии

Выше пояснялась естественность построе­ния геометрии, в которой сумма внутренних углов треугольника не равна 180° и, следова­тельно, не имеет места утверждение (А).

Впервые такую геометрию построил и раз­вил Н. И. Лобачевский в 1826 г. Геометрия Лобачевского строится на тех же аксиомах, что и евклидова, за исключением аксиомы о па­раллельных, которая заменяется противопо­ложным утверждением — аксиомой Лобачев­ского:

Через точку вне прямой в данной плоскости можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

Мы видели, что вопрос о том, какая гео­метрия — Евклида или Лобачевского — точнее описывает мир световых лучей, решается не так уж просто, хотя аксиома Лобачевского и кажется на первый взгляд парадоксальной. Огромной заслугой Лобачевского было то, что он этот вопрос поставил.

Впоследствии было построено много других геометрий — других мысленных слепков с ре­ального мира. Вопрос же о том, действительно ли понадобится какая-либо из этих геометрий при изучении реального мира световых лучей, оставался по существу открытым вплоть до 1916 г., когда крупнейший физик А. Эйнштейн создал так называемую общую теорию относи­тельности.

Широко известен анекдот о том, что Ньютон открыл закон тяготения, наблюдая за паде­нием яблока. Насколько же точно ньютоновский закон отображает реальное положение вещей? Нельзя ли с помощью очень точных инструментов обнаружить, что притяжение тел может отклоняться (пусть очень мало) от закона Ньютона? Здесь можно поставить те же вопро­сы, какими мы занимались при разборе евкли­довой аксиомы о параллельных.

Дело в том, что ньютоновские законы также представляют собой некоторый абстрактный, мысленный слепок с реального мира. Это как бы физический слепок, в то время как евкли­дова аксиоматика является геометрическим слепком. Подобно этому и законы электрического взаимодействия (например, закон Кулона) так­же являются определенным физическим слеп­ком с реального мира.

Вплоть до создания общей теории относи­тельности считалось твердо установленным, что реальный мир представляет собой нечто по­добное бесконечной пустой «евклидовой ком­нате», в которой, словно мебель, расположены реальные тела, предметы, взаимодействующие друг с другом. Казалось совершенно несомнен­ным, что свойства этой «евклидовой комнаты» никак не связаны с перемещением и взаимодей­ствием находящейся в ней мебели.

Законы же перемещения и взаимодействия материи в этой пустоте описывались в физиче­ских теориях-слепках. Однако считалось, что эти теории могут делаться независимо от того, как сделан геометрический слепок. Кроме того, ньютонов слепок считался столь же бесконечно совершенным и точным, как и евклидов геомет­рический слепок.

Опыты, однако, показали, что известные физические теории столь же несовершенны, как и евклидова геометрия.

Чтобы несколько разъяснить это, расска­жем об одном эксперименте, который уже неод­нократно повторялся астрономами и показал хо­рошее  совпадение с заранее полученными вы­водами теории относительности.

Представим себе на Земле наблюдателя, который, находясь в определенный момент в точке О₁ (рис. 8), видит звезду А и вблизи от нее Солнце S¹. Наблюдение проводится в не­большой промежуток времени, так что звезду и Солнце можно считать неподвижными, а тра­екторию Земли — прямолинейной: Если Земля движется по своей орбите с известной скоростью в направлении от О₁ к O₂, то, пользуясь теоремами евклидовой геометрии, нетрудно определить, в какой момент времени Солнце заслонит от наблюдателя звезду А. Это должно произойти тогда, когда Земля переместится в точку O₂ (рис. 8).

Эксперимент, однако, показывает, что в дей­ствительности звезда А закрывается Солнцем с некоторым опозданием, величина которого хорошо согласуется с предсказаниями теории относительности.

Как же объясняется это явление? Оказы­вается, сильное поле тяготения, создаваемое Солнцем, заставляет лучи света, проходящие вблизи Солнца, вести себя не так, как того требует евклидова геометрия. А именно, лучи как бы искривляются, и получается карти­на, схематически изображенная на рис. 9. Находясь в точке О₂ , наблюдатель видит звезду. Лишь когда наблюдатель переме­стится в точку O₃ , Солнце закроет от него звезду А.

Можно попытаться объяснить обнаруженное отклонение, оставаясь в рамках евклидовой геометрии и ньютоновской теории тяготения. Именно, зная массу Солнца и массу движуще­гося фотона (кванта света), можно на основании ньютоновского закона тяготения вычислить от­клонение фотона от евклидовой прямой. Опыт, однако, показывает, что действительное откло­нение оказывается примерно вдвое большим того отклонения, которое вычислено указан­ным путем.

В таком случае приходится предположить, что евклидова геометрия или ньютоновская теория тяготения (или обе они) являются недо­статочно точными слепками действительного мира, ибо не позволяют объяснить наблюдае­мые явления. Общая теория относительности как раз и дала новый, более точный слепок. В соответствии с этой теорией поведение свето­вых лучей вовсе не обязано следовать зако­нам евклидовой геометрии. Геометрия, при­годная для описания поведения световых лучей, должна целиком и полностью определяться распределением и состоянием материи в мире. Каждое перемещение массы и изменение энер­гии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следова­тельно, и необходимость выбора более подходящего, не евклидова геометрического слепка.

Нельзя считать, что световые лучи в окрест­ности Солнца (рис. 9) перестали быть прямыми, что они искривлены. Они, так же как и лучи, проходящие вдали от Солнца, являются иде­альными прямыми, однако поведение этих пря­мых должно описываться не евклидовой систе­мой аксиом, не евклидовой геометрией, а неко­торой другой геометрией.

Так как распределение и состояние материи в реальном пространстве изменяется во вре­мени, то и геометрия, описывающая наше ре­альное пространство с достаточной точностью, тоже не остается неизменной, а изменяется со временем. Значит, в формулировке аксиом геометрии должно участвовать время. Поня­тия пространства и времени оказываются неот­делимыми, неразрывными.

Теория относительности Эйнштейна объеди­нила в одно целое изучение физических и гео­метрических свойств реального мира. Она как бы дала единый физико-геометрический слепок нашего мира.

Оказалось, что мир нельзя рассматривать как пустое евклидово пространство, заполнен­ное материей. Каждое изменение поля тяготе­ния, всякое перемещение массы и изменение энергии вещества влечет изменение структуры всего физического пространства, а следователь­но, и необходимость выбора более подходящего геометрического слепка.

В соответствии с теорией Эйнштейна выбор подходящей геометрии целиком и полностью определяется распределением и состоянием ма­терии в реальном мире.

¹ Заметим, что такие опыты производятся при пол­ном солнечном затмении, когда диск Солнца закрывает­ся от наблюдателя диском Луны.

• О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
• С чего начинается изучение геометрии                                  В музее.....часов
• Как применяется геометрическая теория
• Аксиома о параллельных  
• Равна ли сумма углов треугольника 180°
• Нужны ли другие геометрии     
• Чем отличаются различные геометрии