Равна ли сумма углов треугольника 180°

Равна ли сумма углов треугольника 180°

Оставим пока в стороне вопрос о том, вклю­чать ли аксиому (А) в число аксиом геометрии, предназначенной для описания мира световых лучей. Укажем лишь, что именно с помощью аксиомы (А) в школьном учебнике доказывается теорема:

(В) Сумма внутренних углов любого треу­гольника равна 180° (в радианной мере π).

Несколько сложнее доказывается обратная теорема:

Если сумма внутренних углов хотя бы одного треугольника в точности равна 180°, то спра­ведлива аксиома о параллельных, т. е. через точку А невозможно провести в плоскости две различные прямые, не пересекающие данную прямую а, которая лежит в той же плоскости.

Таким образом, из аксиомы о параллель­ных следует, что сумма внутренних углов лю­бого треугольника равна 180°; наоборот, из того, что сумма углов некоторого треугольника равна 180°, следует аксиома (А).

Значит, в списке аксиом евклидовой геомет­рии можно вычеркнуть аксиому о параллель­ных, но вместо нее внести предложение (В). При этом все остальные теоремы евклидовой геометрии остались бы неизменными.

Мы выше пояснили трудность (даже практи­ческую невозможность) проверки аксиомы о параллельных в мире световых лучей. Если бы даже можно было выделить сколь угодно тонкий пучок световых лучей и если бы не было никакого их поглощения, то и тогда совер­шенно непонятным оставалось бы их поведе­ние за пределами видимости современных телескопов. Всегда неясным оставался бы вопрос о том, пересекутся ли лучи а и b', если угол φ близок к 90 (см. рис. 7). Сказать, что лучи будут и дальше идти по прямой,— значит вообще ничего не сказать, ибо свойства прямой, которые кладутся в основу рассматриваемой сейчас нами геометрии, выводятся на основа­нии изучения свойств реального мира свето­вых лучей, а не наоборот.

Приняв аксиому (А), мы получим геомет­рию, в которой сумма углов любого треуголь­ника равна 180°. Приняв предложение, проти­воположное аксиоме (А), мы получим геомет­рию, в которой сумма углов всякого треуголь­ника отлична от 180°. Как же здесь быть? При­нимать или не принимать аксиому (А)?

Ввиду чрезвычайных трудностей, связан­ных с экспериментальной проверкой аксиомы (А) в опытах со световыми лучами, возникает вопрос о том, не проще ли на таких опытах проверять предложение (В).

Поясним подробнее возникающее здесь по­ложение.

Представим себе, что на местности (рис. 4) ведутся геодезические работы. Пусть в пункте В на штативе укреплен шарик, который геодезист наблюдает в обычный теодолит, установлен­ный в пункте А.

Какой же величины надо взять шарик в пункте В для этих наблюдений? Шарик надо выбрать так, чтобы его изображение получи­лось с возможной точностью в центре окуляра теодолита. Если шарик таков, что его изобра­жение будет большим кружком, его надо умень­шить для более точной наводки. Значит, шарик не должен быть слишком большим. Уменьшать шарик, однако, имеет смысл лишь до тех пор. пока это уменьшение сказывается на точности наводки теодолита. Если чувствительность при­бора не даст возможности улучшить наводку путем дальнейшего уменьшения шарика, такое уменьшение просто бесполезно. Выбрав шарик надлежащего размера, геодезист считает, что он имеет дело с «точками» А и В, соединенными отрезком АВ. При этом, как и выше, шарик В может на самом деле быть довольно большим (это зависит, разумеется, от расстояния АВ).

Теперь представим себе, что в пункте С также установлен на штативе шарик надлежа­щих размеров. Поочередно наводя теодолит на шарики В и С, геодезист находит величину α , равную разности отсчетов на лимбе теодо­лита.

Как указывалось выше, геометрия опери­рует абстрактными понятиями точки, прямой, треугольника и т. д. Поэтому наш геодезист, выполнив вполне конкретный физический экс­перимент с шариками и снопиками световых лучей, рассматривает абстрактный треуголь­ник АBС и считает, что величина угла в вершине А равна α — разности отсчетов на лим­бе теодолита.

Понятно, что величина a зависит от того, насколько хорошим и совершенным был при­мененный теодолит. Поэтому, применяя различ­ные измерительные приборы, геодезист должен был бы каждый раз изучать другой абстракт­ный треугольник АBС.

Представим себе для определенности, что конструкция теодолита не дает возможности фиксировать показания на лимбе более мелкие, нежели 10'. В таком случае, выполнив отсчет на лимбе после наведения на шарик B, говорят, что отсчет сделан с точностью до 10'. То же самое относится и к наводке теодолита на ша­рик С.

Найдя разность отсчетов α, геодезист счи­тает, что, применив другой, более точный тео­долит, он мог бы получить другую разность, однако ее отличие от α не превысит 20'.

Таким образом, рассматривая абстрактный треугольник АBС с углом A, равным α, геоде­зист вправе считать, что, применяя более точ­ные приборы, он мог бы получить для угла α другую величину, лежащую в пределах от α-20' до α+20'.

Аналогично можно для углов В и С полу­чить величины β и g и найти сумму σ=α+β+γ.

Возникает вопрос: равна ли эта сумма 180°? Понятно, что такое совпадение маловероятно. Вспомним прежде всего, что каждая наводка теодолита выполнялась с точностью до 10'. Для определения а теодолит пришлось наводить 6 раз. Поэтому применение более точного при­бора могло бы привести к получению другой суммы, находящейся в промежутке от σ-1° до σ+1°.

Итак, определение суммы углов рассматривае­мого абстрактного треугольника зависит от точ­ности проведенных измерений (в данном случае от точности примененного теодолита). В нашем случае геодезист вправе рассмотреть абстракт­ный треугольник, сумма углов которого отличает­ся от найденной при измерении величины о, но не более чем на 1°.

Здесь возникает другой вопрос. Насколько измеренная сумма углов о отличается от 180°? Превосходит ли это отличие 1°? Находится ли разность между 180° и а в пределах точности примененных инструментов? Иными словами, может ли геодезист в данном случае рассмат­ривать абстрактный треугольник с суммой углов 180°?

Проанализируем возможные результаты из­мерения. Здесь имеются две возможности.

1. В результате измерения получилась сум­ма σ=α+β+γ, отличие которой от 180° превосходит точность проведенных измерений (в данном случае 1°). В этом случае геодезист должен рассуждать примерно так. Если при­нять аксиому (А), в нашей геометрии сумма углов всякого треугольника будет равна 180°. Проведенный же опыт показывает, что приня­тая точность измерений не согласуется с таким выводом. Это означает, что такая геометрия для нашего геодезиста недостаточно хороша. Выводы ее он не смог бы применять в своей практике.

Зная длину АС, углы α и γ, он не смог бы с необходимой точностью, как это описано вы­ше, определить длину АВ, ибо теорема Пифа­гора и признаки подобия треугольников спра­ведливы лишь там, где сумма углов треуголь­ника равна 180°. Ему пришлось бы для практи­ческих потребностей строить геометрию, где аксиома (А) не справедлива и, следовательно, сумма углов треугольника не равна 180°.

2. Сумма углов σ=α+β+γ, полученная в результате измерения, отличается от 180° на величину, не превосходящую точность изме­рений (в данном случае 1°). В этом случае гео­дезисту для практических нужд вполне пригод­на геометрия, в которой сумма углов треуголь­ника равна 180°. У него нет никаких оснований отвергать аксиому (А), а равно и предложение (В). Обычная евклидова «школьная» геометрия здесь оказывается весьма полезной, ее выводы приобретают большое практическое значение с точностью, принятой в измерениях нашего геодезиста.

Однако необходимо заметить, что геодезист и в данном случае не должен слишком прене­брежительно относиться к геометрии, где невер­на аксиома (А) и где сумма углов треугольника отлична от 180°. Не исключена возможность, что и такая геометрия в будущем окажет­ся ему полезной. Если все измерения гео­дезиста пока хорошо согласовывались с той геометрией, где сумма углов треугольника рав­на 180°, то, может быть, в дальнейшем, увели­чив точность приборов или измеряя углы зна­чительно больших космических треугольни­ков, он столкнется с тем, что при новых изме­рениях обычная геометрия уже не будет опи­сывать мир с достаточной точностью. И тогда понадобится совсем другая геометрия.

Итак, вопрос заключается лишь в том, какая геометрия с большей точностью описывает мир световых лучей, какой мысленный слепок с ре­ального мира является более точным.

Вполне владея изложенными идеями, Н. И. Лобачевский уже в первой половине XIX в. имевшимися в то время астрономиче­скими средствами измерил сумму углов весьма большого космического треугольника. За вер­шины были взяты две самые удаленные точки на эллиптической орбите Земли и одна из да­леких звезд. В результате измерения получи­лась величина, как и следовало ожидать, от­личная от 180°, однако это отличие не выходило за пределы точности примененных инструмен­тов. Таким образом, вопрос о том, какая гео­метрия точнее описывает мир световых лучей, остался открытым. Было неясно, понадобится ли вообще когда-нибудь геометрия, в которой не имеет места аксиома (А). Не является ли та­кая геометрия бесполезным плодом фантазии?

• О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
• С чего начинается изучение геометрии                                  В музее.....часов
• Как применяется геометрическая теория
• Аксиома о параллельных  
• Равна ли сумма углов треугольника 180°
• Нужны ли другие геометрии     
• Чем отличаются различные геометрии