Как применяется геометрическая теория

Как применяется геометрическая теория

Итак, в геометрии изучаются свойства абст­рактных понятий — точки, прямой, плоскости. Эти свойства формулируются и доказываются в так называемых теоремах. Доказательство же всех теорем основано в конечном счете на некоторых аксиомах, которые в геометрии никак не доказываются. Подробнее о том, как выбираются аксиомы, каким требованиям дол­жен удовлетворять этот выбор, рассказано в статье «Как возникла геометрия».

Наиболее ранняя из дошедших до нас систем аксиом была построена Евклидом (III в. до н. э.). Аксиоматика (система аксиом), данная Евк­лидом, была, правда, далеко не безупречной. Строгое современное изложение евклидовой гео­метрии было дано лишь в конце XIX в. и ба­зируется на двух десятках аксиом, которые мы здесь перечислять не будем. Все теоремы гео­метрии лишь с той точностью описывают реальный мир, с какой аксиомы правильно отражают действительное положение вещей.

Существо дела заключается в следующем. Пусть, например, мы рассматриваем распрост­ранение света в природе — так сказать, «све­товые лучи». Они ведут себя в соответствии с действующими физическими законами. И вот геометры-математики выбирают некоторые об­наруженные в опытах особенности распростра­нения света и объявляют их аксиомами, при­сущими абстрактным понятиям точки, прямой, плоскости. На базе выбранных аксиом и строят математическую науку — геометрию. Эта гео­метрия является как бы мысленным слепком с действительного мира. Изучение этого слепка позволяет обнаруживать закономерности реаль­ного мира уже не путем непосредственных изме­рений, а мысленно, геометрически (т. е. на слепке).

Чтобы подробнее пояснить это, рассмотрим, например, задачу об определении расстояния между пунктами А и В, разделенными рекой (рис. 4). Понятно, что прямое измерение рас­стояния АВ практически неосуществимо. (Еще труднее найти расстояние между звездами.) Для решения подобных задач необходима гео­метрия. Как же найти расстояние АВ с помощью геометрии? Укажем два способа решения этой задачи.

Первый способ. Выберем на мест­ности еще один пункт С так, чтобы расстояние А С можно было непосредственно измерить. Найдя АС, измерим с помощью какого-либо угломерного инструмента (скажем, теодолита) поочередно углы α и γ (положим для определен­ности, что они оказались острыми).

Теперь, уже мысленно, рассмотрим абстракт­ный треугольник АBС, у которого задана сто­рона А С и углы α и γ. Мы можем для наглядно­сти нарисовать этот треугольник (рис. 5), хотя никакой необходимости в этом нет, все дальней­шие рассуждения можно проводить мысленно, не обращаясь к рисунку. Поэтому и рисунок, если уж его желательно сделать, может быть выполнен приблизительно, без соблюдения ка­ких-либо чертежных правил.

Опуская из вершины В перпендикуляр на сторону А С, получим точку D. Обозначим BD = h, AD=x. Тогда DC=AC-x. Очевидно,

Следовательно:

После этого по теореме Пифагора легко найдем:

  Зная АС, α , γ, можно по полученной формуле легко найти искомое расстояние АВ¹.

Второй способ. Постараемся на бу­маге по возможности точно начертить план местности (план треугольника АBС). Разу­меется, невозможно начертить его в натураль­ную величину. Поэтому выберем определен­ный масштаб и уменьшим измеренную величи­ну АС в n раз. Построим на чертеже отрезок

(рис. 6). Далее, на концах этого отрезка с помощью транспортира построим углы а и у, равные найденным при измерении на местности. Продолжив стороны этих углов, по­лучим точку В' — третью вершину треугольника.

Так как два угла а и у треугольника А'В'С' равны соответствующим углам треугольника АBС, то эти треугольники подобны. А так как подобие треугольников означает пропорциональ­ность их соответствующих сторон, то прихо­дим к выводу, что сторона А'В' должна быть меньше стороны АВ также в n раз. Поэто­му, измерив на чертеже А'В', можно найти, что АВ = nА'В'.

В первом случае мы нашли АВ простым вычислением, во втором — пришлось допол­нительно измерить на чертеже А'В' и выпол­нить достаточно точный чертеж. В обоих слу­чаях для определения АВ нам пришлось вос­пользоваться многими теоремами геометрии: теоремой Пифагора, теоремой о свойстве подоб­ных треугольников и т. п. Отметим, что второй способ (наряду с первым) часто используется в инженерной практике, где поэтому весьма важным является точное выполнение чертежей. Можно ли гарантировать, что описанные методы дают величину АВ, которая с необходи­мой точностью совпадает с расстоянием между пунктами А и В, если бы его действительно удалось измерить?

Ответ на этот вопрос зависит от того, насколько точно аксиомы геометрии (а следовательно, теоремы) отображают реаль­ную действительность, насколько хорош наш геометрический слепок с реального мира.

Разумеется, может оказаться, что этот сле­пок недостаточно хорош. Тогда надо попытаться сделать лучший. Для этого надо тщательнее проанализировать опыты, на основании которых выбраны те или иные аксиомы, точнее, выбрать аксиомы. С помощью новых аксиом, более точно отображающих действительность, надо построить новую геометрию, новый, более точ­ный слепок с реального мира.

В течение двух тысячелетий считалось, что евклидова геометрия описывает мир с беспре­дельной точностью, что евклидов слепок с ре­ального мира идеален. Эта точка зрения была впервые поколеблена лишь в 1826 г. русским математиком Н. И. Лобачевским. Чтобы разъ­яснить его идеи, остановимся подробно на ана­лизе одной из самых интересных аксиом евк­лидовой геометрии.

¹ Расстояние АВ можно найти еще проще, если вос­пользоваться известной в тригонометрии теоремой сину­сов.

• О РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЯХ
• С чего начинается изучение геометрии                                  В музее.....часов
• Как применяется геометрическая теория
• Аксиома о параллельных  
• Равна ли сумма углов треугольника 180°
• Нужны ли другие геометрии     
• Чем отличаются различные геометрии