.
Меню сайта
|
ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ. Пифагоровы треугольникиПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ. Пифагоровы треугольникиФутбольное поле — это прямоугольная площадка длиной примерно 90 м и шириной 60 м. Как разметить такую площадку? Прямоугольник на листе бумаги строят при помощи линейки и циркуля или линейки и угольника. Эти приборы слишком малы для работы на местности. Они не обеспечат нужной точности в построении прямых углов такой площадки, как футбольное поле. Если же сделать циркуль и угольник достаточно больших размеров, то ими будет невозможно пользоваться. С давних времен известен очень простой способ построения на местности прямых углов. Выполним такое построение. Возьмем шнур и три колышка. На шнуре отметим 12 равных долей. Затем узлами выделим три части шнура MB, BC, CN так, чтобы первая часть состояла из пяти, вторая из четырех и последняя из трех таких долей. Узлы М и N свяжем вместе и обозначим вновь полученный узел через А. С помощью колышков натянем часть шнура ВС вдоль данной прямой так, чтобы точка С совпала с точкой, через которую должен быть проведен перпендикуляр к данной прямой. Потом оттянем шнур за узел А так, чтобы участки АВ и АС стали прямолинейными, и вобьем в точке, где будет находиться узел А, колышек. Задача построения на местности прямого угла решена, так как угол АСВ прямой. Чтобы убедиться в этом, докажем, что прямоугольным будет всякий треугольник, стороны которого, измеренные какой-нибудь единицей измерения, выражаются числами 3, 4 и 5. Для доказательства возьмем прямоугольный треугольник с катетами, равными двум меньшим сторонам данного треугольника, и найдем его гипотенузу х. По теореме Пифагора x2=32+42. Поэтому х=5. Таким образом, три стороны данного треугольника соответственно равны трем сторонам прямоугольного треугольника. А отсюда следует, что и данный треугольник — прямоугольный. Доказанное свойство треугольника со сторонами 3,'4 и 5 было, по-видимому, известно еще древнеегипетским землемерам. Поэтому такой треугольник называют египетским. Всякий целочисленный треугольник1, подобный египетскому, также является прямоугольным. Существуют ли другие целочисленные прямоугольные треугольники. Если катеты и гипотенузу какого-нибудь целочисленного прямоугольного треугольника обозначить буквами х, у и z, то по теореме Пифагора получим: z2+y2 = z2. (1) Оказывается, что верно и обратное, т. е. если х, у и z — натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (1), то треугольник со сторонами х, у и z — прямоугольный. Целочисленный прямоугольный треугольник для краткости иногда называют пифагоровым. Наше рассуждение показывает, что задача отыскания всех пифагоровых треугольников сводится к решению уравнения (1) в натуральных числах. Рассмотрим несколько других задач. 1 Целочисленным называют треугольник, длины сторон которого выражаются целыми числами.
|
ПОИСК
Block title
|