Позиционные системы

Позиционные системы

Первой известной нам позиционной си­стемой счисления была шестидесятеричная си­стема вавилонян, возникшая примерно за 2500— 2000 лет до н. э. Основанием ее служило число 60. Следовательно, в ней должно было быть 60 цифр. А таблица умножения должна была состоять из 60•60/2=1800 строк.

Как же вавилоняне записывали свои цифры и как запоминали такую чудовищную таблицу умножения?

Вавилоняне поступали так: записывали все числа от 1 до 59 по десятичной системе, при­меняя принцип сложения. При этом они поль­зовались всегда двумя знаками: прямым клином

для обозначения 1 и лежачим клином

    для 10.

Число 32, например, писали так:

Эти знаки и служили цифрами в их системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком,

что и 1, т. е.

Так же обозначались и числа 3600, 60³ и все другие степени 60. Например, число 92 записывали так:

Таким образом, «цифры», т. е. все числа от 1 до 59, вавилоняне записывали по десятич­ной непозиционной системе, а число в целом — по позиционной системе с основанием 60. По­этому-то мы и называем их систему шестидесятеричной (а не шестидесятичной, как нужно называть, учитывая только одно основание 60).

Но нумерация вавилонян имела и еще одну важную особенность: в ней не было знака для нуля. И если был изображен прямой клин

то без дополнительных пояснений нельзя было определить, какое число записано: 1, 60, 3600 или какая-нибудь другая степень 60. Запись числа 92, приведенная выше, могла обозначать не только 92 = 60 + 32, но и 3600+32=3632.

Она могла также означать 1³²/₆₀ или 1³²/₃₆₀₀ и т.д.

Таким образом, запись в вавилонской нуме­рации не носила абсолютного характера — для определения абсолютного значения числа нуж­ны были еще дополнительные сведения. Впо­следствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда. Например, число 3632 нужно

было бы записать так:

Но в конце числа этот символ обычно не ставился. Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали — это было почти невозможно. Они пользовались при своих вычислениях готовыми таблицами умножения, так же как мы теперь пользуемся, например, таблицами логарифмов.

Шестидесятеричная система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. Следы ее сохранились до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Точно так же, следуя примеру вавилонян, окружность мы делим на 360 частей (градусов).

В начале нашей эры индейцы племени майя, которые жили на полуострове Юкатан в Цент­ральной Америке, пользовались другой пози­ционной системой — с основанием 20. Свои цифры индейцы майя, как и вавилоняне, запи­сывали, пользуясь принципом сложения. Еди­ницу они обозначали точкой, а пять — гори­зонтальной чертой (см. рис.), но в этой системе уже был знак для нуля. Он напоминал по своей форме полузакрытый глаз. И, например, число 20 индейцы майя записывали при помощи знака для единицы и внизу знака для нуля (числа писали не в строчку, а столбцами).

Десятичная позиционная система впервые сложилась в Индии не позднее VI в. н. э. Здесь же был введен наш символ для нуля.

Итак, позиционные системы счисления воз­никли независимо одна от другой в древнем Дву­речье, у племени майя и, наконец, в Индии. Все это говорит о том, что возникновение позицион­ного принципа не было случайностью.

Каковы же были предпосылки для его соз­дания? Что привело людей к этому замечатель­ному открытию?

Чтобы ответить на эти вопросы, мы снова обратимся к истории. В древнем Китае, Индии и в некоторых других странах существо­вали системы записи, построенные на мультипликативном принципе.

Пусть, например, десятки обозначаются сим­волом X, а сотни — С. Тогда запись числа 323 схематично будет выглядеть так:

3С2X3.

В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков, сотен или тысяч при­меняются одни и те же символы, но после каж­дого символа пишется название соответствующего разряда. На аналогичном принципе осно­ваны наши счеты: одно и то же количество кос­точек означает число десятков, сотен, тысяч и т. д., в зависимости от того, в каком ряду рас­положены эти косточки.

Но именно такой способ счета применялся при счете «числами-совокупностями». Так, йорубы¹, считая раковины-каури (игравшие у них роль денег), раскладывали их в кучки по 20 раковин в каждой, затем 20 таких кучек они объединяли в одну большую кучу и т. д. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами можно поступать так же, как и с отдельными раковинами. Н. Н. Миклухо-Маклай рассказывал о способе счета у папуасов, который уже очень близок к построению чисел по принципу умножения. Чтобы сосчитать число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы поступали следую­щим образом: «Первый, раскладывая кусочки бумаги на колене, при каждом обрезке повторял «каре-каре» (один), другой повторял слово «каре» и загибал при этом палец прежде на од­ной, затем на другой руке. Насчитав до десяти и согнув пальцы обеих рук, он опустил оба кулака на колени, повторив «две руки», причем третий папуас загнул один палец руки. Со вто­рым десятком было сделано то же, причем тре­тий папуас загнул второй палец: то же самое было сделано для третьего десятка».

Рассказывают, что так же считали стада в Южной Африке: один из африканцев считал каждую голову, второй — число десятков, сосчи­танных первым, а третий — число десятков, сосчитанных вторым, т. е. число сотен. Если бы мы теперь обозначили палец первого через I, палец второго через X и палец третьего через С, то результат по мультипликативной системе записали бы, например, так: 3C2X3I. В Китае и Индии с древнейших времен суще­ствовал именно такой способ записи чисел. Кроме того, индийцы издавна проявляли глу­бокий интерес к большим числам и способам их записи. В одной из индийских книг — «Лалитавистара» — говорится о состязании между женихами прекрасной Гопы. Предметом состя­зания были письменность, арифметика, борьба и искусство стрельбы из лука. Почти половина книги посвящена описанию состязаний по ариф­метике. Победитель Гаутама придумал шкалу чисел, идущих в геометрической прогрессии со знаменателем 100, последним членом которой было 10^7+9•46.

Следующей ступенью- к позиционному принципу было опускание названий разрядов при письме (подобно тому, как мы говорим «три двадцать», а не «три рубля двадцать копеек»). Но при записи больших чисел по системе с ос­нованием 10 очень часто бывал необходим сим­вол для обозначения нуля.

Как же появился нуль?

Мы видели, что уже вавилоняне употре­бляли межразрядовый знак. Начиная со II в. до н. э. греческие ученые познакомились с мно­говековыми астрономическими наблюдениями вавилонян. Вместе с их вычислительными таб­лицами они переняли и вавилонскую шестидесятеричную систему счисления, но только числа от 1 до 59 записывали не с помощью клиньев, а в своей, алфавитной нумерации. Но самое замечательное было то, что для обоз­начения пропущенного шестидесятеричного разряда греческие астрономы начали употреб­лять символ О (первая буква греческого слова

- ничто).Этот знак, по-видимому, и был прообразом нашего нуля.

Действительно, индийцы, владевшие уже мультипликативным принципом записи чисел, как раз между II и VI вв. н. э. познакомились с греческой астрономией. Это видно из того, что они переняли и общие теоретические поло­жения этой астрономии, и многие греческие термины.

Одновременно они должны были познако­миться с шестидесятеричной нумерацией и гре­ческим круглым нулем. Индийцы и соединили принципы нумерации греческих астрономов со своей десятичной мультипликативной системой. Это и был завершающий шаг в создании нашей нумерации.

Из Индии новая система распространилась по всему миру. При этом одни народы переняли у индийцев только принцип обозначения чисел, оставив старые начертания цифр, другие за­имствовали и написание цифр.

Мы приводим таблицу ,

на которой видно, как постепенно видоизменялись цифры «губар», употреблявшиеся в мавритан­ских государствах, пока они не приняли сов­ременной формы.

Откуда произошли сами цифры «губар», до сих пор остается неясным.

В страны Европы новая индийская нумерация была занесена арабами в X—XIII вв. (отсюда и сохранившееся поныне название «арабские цифры»); однако принята она была далеко не сразу. Вплоть до XVIII в. в официальных бумагах разрешалось применять только римские цифры. Однако преимущества позиционного принципа счисления были настолько велики, что еще в XIII в. он стал применяться италь­янскими купцами. Тогда же Леонардо Пизанский выступил убежденным сторонником новой системы. В Германии, Франции и Англии до конца XV в. новая нумерация почти не упо­треблялась. Но к концу XVI — началу XVII в. позиционная система одержала решительную победу — ее приняли не только купцы, но и все ученые. Ее стали применять повсеместно.

В России, как мы уже знаем, в старину употреблялась алфавитная система, которая имеет много преимуществ по сравнению с рим­ской. Но и здесь новая нумерация быстро вошла в употребление: во всех без исключения мате­матических рукописях XVII в. применялась десятичная позиционная система счисления. При Петре I индийские цифры уже вытесняют на монетах славянские, а в послепетровские времена славянские цифры вообще быстро ис­чезают из обихода.

Приведем в заключение слова знаменитого французского математика и физика XVIII — XIX вв. П. Лапласа: «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как не­легко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой уче­ности Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой».

¹ Одно из африканских племен.

• ЧИСЛА
• Как люди считали в старину и как писали цифры 
• Счет двойками, тройками и дюжинами
• Задача на взвешивание 
• Наш устный счет
• Счет у первобытных народов
• Первые нумерации
• Алфавитные нумерации. «Псаммит»
• Позиционные системы